[论文解读] C^*- Actions on Stein analytic spaces with isolated singularities

César Camacho, Hossein Movasati+1 more|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本论文证明，任何在具有可分奇点的正规二维 Stein 解析空间上作用的全纯 ℂ*-作用，均与 ℂⁿ⁺¹ 中某个仿射代数簇上的良好作用解析共轭。关键结果是一个 GAGA 型定理，表明此类空间双全纯同构于拟齐次代数曲面，其模空间分类完全由解析数据（包括亏格、线丛次数和连分数不变量）确定。

ABSTRACT

Let $V$ be an irreducible complex analytic space of dimension two with normal singularities and $\vr:\mathbb{C^*} imes V o V$ a holomorphic action of the group $\mathbb{C^*}$ on $V$. Denote by $\fa_\vr$ the foliation on $V$ induced by $\vr$. The leaves of this foliation are the one-dimensional orbits of $\vr$. %and its singularities are the fixed points of $\vr$. We will assume that there exists a \emph{dicritical} singularity $p\in V$ for the $\bc^*$-action, i.e. for some neighborhood $p\in W\subset V$ there are infinitely many leaves of $\mathcal {F}_\vr|_{W}$ accumulating only at $p$. The closure of such a local leaf is an invariant local analytic curve called a \emph{separatrix} of $\mathcal{F}_\vr$ through $p$. In \cite{Orlik} Orlik and Wagreich studied the 2-dimensional affine algebraic varieties embedded in $\mathbb{C}^{n+1}$, with an isolated singularity at the origin, that are invariant by an effective action of the form $σ_Q(t,(z_{0},...,z_{n}))=(t^{q_{0}}z_{0},..., t^{q_{n}}z_{n})$ where $Q=(q_0,...,q_n) \in\mathbb N^{n+1}$, i.e. all $q_{i}$ are positive integers. Such actions are called \emph{good} actions. In particular they classified the algebraic surfaces embedded in $\mathbb{C}^{3}$ endowed with such an action. It is easy to see that any good action on a surface embedded in $\mathbb{C}^{n+1}$ has a dicritical singularity at $0\in\mathbb{C}^{n+1}$. Conversely, it is the purpose of this paper to show that good actions are the models for analytic $\mathbb{C^*}$-actions on Stein analytic spaces of dimension two with a dicritical singularity.

研究动机与目标

• 对具有可分奇点的正规二维 Stein 解析空间上的 ℂ*-作用进行分类。
• 证明此类作用与 ℂⁿ⁺¹ 中仿射代数簇上的良好代数作用解析共轭。
• 为 Stein 曲面上的 ℂ*-作用建立一个 GAGA 型原则。
• 基于几何与算术不变量，提供此类对 (V, φ) 的完整模空间描述。

提出的方法

• 通过奇点的解析解消，将空间分解为紧致黎曼曲面的并集，其中有一个特殊黎曼曲面 σ₀，其上 ℂ* 作用横截。
• 在 σ₀ 附近应用 ℂ*-作用的局部线性化，且该线性化不依赖于其自交数。
• 利用 σ₀ 的数据、负次数线丛以及解消图中的连分数序列，构造解消的线性模型。
• 证明可分奇点的吸引 basin 是整个空间 V，从而推出全局共轭于线性模型。
• 利用 Stein 性质及 H¹ 的消失性，证明该 basin 是单连通的，从而实现全局双全纯同构。
• 建立模数据与所得线性模型之间的一一对应关系，从而完成分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个在具有可分奇点的正规二维 Stein 空间上的 ℂ*-作用，是否都能实现为 ℂⁿ⁺¹ 中某个仿射代数簇上的良好代数作用？
• RQ2 此类 ℂ*-作用的完整模空间（在双全纯同构下）是什么？
• RQ3 由作用诱导的叶状结构在奇点处的解消不变量，如何分类底层空间与作用？
• RQ4 可分奇点的吸引 basin 是否总是整个空间 V？
• RQ5 在这些空间中，除了点 p 处的奇点外，是否还存在其他可分奇点？

主要发现

• 每个在具有可分奇点的正规二维 Stein 解析空间上的 ℂ*-作用，均与 ℂⁿ⁺¹ 中某个仿射代数簇上的良好作用解析共轭。
• 可分奇点的吸引 basin 是整个空间 V，意味着全局线性化成立。
• 此类对 (V, φ) 的模空间由一个亏格为 g、带有 s 个标记点的黎曼曲面 σ₀、一个次数为 −k ≤ −1 的线丛，以及满足收敛不等式的连分数序列参数化。
• 奇点处叶状结构的解消决定了模数据，且分类在同构意义下完全且唯一。
• 若 V 光滑，则 V 双全纯同构于 ℂ²，从而确认了主定理的一个特例。
• 点 p 处的奇点必为文献中定义的拟齐次曲面奇点。