[论文解读] C*-algebras Associated do Stationary Ordered Bratteli Diagrams

Daniel Gonçalves, Danilo Royer|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用 6

一句话总结

本文通过基于替换的Bratteli-Vershik系统，从平稳有序的Bratteli图构造C*-代数，证明该代数包含相应的部分交叉积C*-代数，并在图等价关系下保持不变。关键贡献在于，C*-代数的同构类连同一个指定的生成元集合，构成了Bratteli图等价关系的完全不变量。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a C*-algebra associated to any substitution (via its Bratteli diagram model). We show that this C*-algebra contains the partial crossed product C*-algebra of the corresponding Bratteli-Vershik system and show that these algebras are invariant under equivalence of the Bratteli diagrams. We also show that the isomorphism class of the algebras, together with a distinguished set of generators, is a complete invariant for equivalence of Bratteli diagrams.

研究动机与目标

• 通过其Bratteli图模型定义与替换系统相关的C*-代数构造。
• 证明所构造的C*-代数包含相应Bratteli-Vershik系统的部分交叉积C*-代数。
• 证明C*-代数的同构类连同指定的生成元集合，是Bratteli图等价关系的完全不变量。
• 证明C*-代数在底层Bratteli图的等价关系下保持不变。

提出的方法

• 从替换系统构造Bratteli图，将替换规则编码为具有有序边的有向图结构。
• 在Bratteli图的边上施加顺序，以定义Vershik变换，从而构建一个拓扑动力系统。
• 应用标准方法，从Bratteli-Vershik系统构造部分交叉积C*-代数。
• 利用替换结构和有序边集，为平稳有序Bratteli图定义一个新的C*-代数。
• 证明新C*-代数包含部分交叉积代数作为子代数。
• 利用代数和动力系统的不变量，证明C*-代数的同构类连同一个指定的生成元集合，可分类Bratteli图的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过其Bratteli图表示，自然地将C*-代数与替换系统关联起来？
• RQ2 所构造的C*-代数与Bratteli-Vershik系统的部分交叉积C*-代数之间存在何种关系？
• RQ3 C*-代数的同构类连同指定的生成元集合，是否足以对Bratteli图的等价关系进行分类？
• RQ4 C*-代数的构造在Bratteli图的等价关系下是否保持不变？

主要发现

• 与平稳有序Bratteli图相关的C*-代数包含相应Bratteli-Vershik系统的部分交叉积C*-代数。
• C*-代数在Bratteli图的等价关系下保持不变，即等价图产生同构的C*-代数。
• C*-代数的同构类连同一个指定的生成元集合，是Bratteli图等价关系的完全不变量。
• 该构造为替换系统及其相关动力系统提供了一类新的代数不变量。
• 该方法在Bratteli图的组合等价关系与C*-代数的同构类之间建立了桥梁。
• 该结果将C*-代数与动力系统理论中的已知不变量推广至平稳有序Bratteli图的设定。