[论文解读] C*-algebras associated to topological Ore semigroups

S. Sundar|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文为具有可交换终投影的拓扑Ore半群的等距表示构造了一个通用群胚C*-代数。通过将通用谱$\Omega_u$与群胚$\Omega_u \rtimes P$相关联，建立了从$C^*(\Omega_u \rtimes P)$到Wiener-Hopf代数$\mathcal{W}_V(P,G)$的满射$*$-同态，推广了Coburn定理，并在单一群胚框架下统一了Wiener-Hopf代数与Toeplitz代数。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and $P \subset G$ be a closed Ore semigroup containing the identity element. Let $V: P o B(\clh)$ be a representation such that for every $a \in P$, $V_{a}$ is an isometry and the final projections of $\{V_{a}: a \in P\}$ commute. In this article, we study the $C^{*}$-algebra $\mathcal{W}_{V}(P,G)$, generated by $\{\int f(a)V_{a} da: f \in L^{1}(P)\}$. We show that there exists a universal $C^{*}$-algebra, which admits a groupoid description, of which $\mathcal{W}_{V}(P,G)$ is a quotient. If $P=G$, then this universal algebra is just $C^{*}(G)$.

研究动机与目标

• 将Wiener-Hopf代数与Toeplitz C*-代数推广至具有可交换终投影的拓扑Ore半群。
• 构造一个通用群胚$\Omega_u \rtimes P$，其约化C*-代数普遍编码具有可交换范围投影的等距表示。
• 建立从$C^*(\Omega_u \rtimes P)$到Wiener-Hopf代数$\mathcal{W}_V(P,G)$的满射$*$-同态，将已知结果推广至连续情形。
• 通过单一的群胚构造统一离散与连续情形，包括平面象限与实半直线的示例。

提出的方法

• 将$\Omega_u$定义为满足$P^{-1} \subset A$且$P^{-1}A \subset A$的闭子集$A \subset G$的集合，配备Vietoris拓扑。
• 通过右乘法在$\Omega_u$上定义$P$的右作用，形成半直积群胚$\Omega_u \rtimes P$。
• 利用Renault与Sims（2015）的结果，证明$\Omega_u \rtimes P$具有Haar系，从而确保正则表示的存在性。
• 通过公式$\lambda(\widetilde{f}) = \int \Delta(g)^{-1/2} f(g) W_{g^{-1}} dg$（$f \in C_c(G)$）定义表示$\lambda: C^*(\Omega_u \rtimes P) \to B(\mathcal{H})$。
• 证明$\lambda$的像生成$\mathcal{W}_V(P,G)$，从而确立 universality。
• 利用可交换终投影$E_a = V_a V_a^*$的结构定义谱$\Omega$，并通过限制将其与$\Omega_u$关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 当终投影可交换时，是否可将拓扑Ore半群的Wiener-Hopf代数实现为群胚C*-代数？
• RQ2 是否存在一个通用群胚$\Omega_u \rtimes P$，用于参数化所有具有可交换范围投影的等距表示？
• RQ3 通用群胚$\Omega_u \rtimes P$如何推广Toeplitz代数与经典Wiener-Hopf代数？
• RQ4 模函数$\Delta(g)$在通用表示公式中起什么作用？
• RQ5 群胚$\Omega_u \rtimes P$是否具有Haar系，从而支持构造一个明确定义的群胚C*-代数？

主要发现

• 群胚$\Omega_u \rtimes P$是一个具有Haar系的拓扑群胚，确保了明确定义的正则表示的存在性。
• 存在一个满射$*$-同态$\lambda: C^*(\Omega_u \rtimes P) \to \mathcal{W}_V(P,G)$，满足$\lambda(\widetilde{f}) = \int \Delta(g)^{-1/2} f(g) W_{g^{-1}} dg$（$f \in C_c(G)$），该结果推广了已知公式。
• $\lambda$的像生成$\mathcal{W}_V(P,G)$，证明了$C^*(\Omega_u \rtimes P)$是具有可交换终投影的等距表示的通用代数。
• 当$P = \mathbb{N}$时，有$\Omega_u \cong \mathbb{N}_\infty$，且$C^*(\Omega_u \rtimes P)$同构于Toeplitz代数，从而恢复了Coburn定理。
• 当$P = \mathbb{R}_+$时，有$\Omega_u \cong [0,\infty]$，且$C^*(\Omega_u \rtimes P)$同构于经典Wiener-Hopf代数。
• 该构造表明，Wiener-Hopf代数是$C^*(\Omega_u \rtimes P)$的商代数，即使$\Omega_u$较大且非显式，其通用性质依然成立。