[论文解读] C*-algebras associated with integral domains and crossed products by actions on adele spaces

Joachim Cuntz, Xin Li|ArXiv.org|Jun 26, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文建立了与整体域相关联的C*-代数的对偶性定理，证明了在有限和无限adele空间上的半直积是同构的。利用这一对偶性，计算了数域中整环的C*-代数的K-理论，表明其同构于乘法群的挠自由部分上的外代数，并在实嵌入数为偶数且至少为两个时带有Z/2Z的扭变。

ABSTRACT

We compute the K-theory for C*-algebras naturally associated with rings of integers in number fields. The main ingredient is a duality theorem for arbitrary global fields. It allows us to identify the crossed product arising from affine transformations on the finite adeles with the analogous crossed product algebra over the infinite adele space.

研究动机与目标

• 为先前关于整数和整体域相关联的C*-代数K-理论的猜想结果提供完整的证明。
• 为任意整体域建立有限和无限adele空间上半直积之间的普遍对偶性定理。
• 在根的单位根满足特定条件时，计算数域中整环相关联的环C*-代数的K-理论。
• 确定排除挠单位的环C*-代数子代数的K-理论，以乘法群的结构形式阐明其性质。
• 证明全adele空间上的全半直积与ax+b-群的群C*-代数之间Morita等价，从而可通过群代数方法计算K-理论。

提出的方法

• 证明 $ C_0(\mathbb{A}_f) \rtimes P_K $ 与 $ C_0(\mathbb{A}_\infty) \rtimes P_K $ 之间的对偶同构，其中 $ \mathbb{A}_f $ 和 $ \mathbb{A}_\infty $ 分别为有限和无限adele空间，$ P_K $ 为整体域 $ K $ 上的ax+b-群。
• 利用对偶性将K-理论计算从完全不连通的有限adele空间转移到连通的无限adele空间，使同伦方法得以应用。
• 通过迭代应用Pimsner-Voiculescu正合序列来计算涉及 $ \mu \times \Gamma_m' $ 作用的半直积的 $ K_* $，其中 $ \mu $ 为单位根群。
• 利用初等因子定理，并利用K-理论上诱导映射满足 $ \beta_*^2 = \text{id} $ 的事实，分析 $ K_* $ 中的挠，特别是 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-挠。
• 建立 $ C_0(\mathbb{A}) \rtimes P_K \sim_M C^*(P_K) $，即ax+b-群的群C*-代数，通过一个P-等变Morita等价。
• 利用Morita等价性，计算全半直积的 $ K_* $ 为 $ K_0(C^*(\{\pm1\})) \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\mathbb{Q}_{>0}) $，在 $ K = \mathbb{Q} $ 的情况下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于仅以 $ \pm1 $ 为根的单位根的数域 $ K $，其整环 $ \mathcal{O} $ 相关联的C*-代数 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 的K-理论是什么？
• RQ2 有限与无限adele空间上半直积之间的对偶性如何促进K-理论计算？
• RQ3 由加法与乘法算子（排除单位根）生成的 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 的子代数的K-理论能否用 $ K $ 的乘法群来描述？
• RQ4 全adele空间半直积 $ C_0(\mathbb{A}) \rtimes P_K $ 与群C*-代数 $ C^*(P_K) $ 之间存在何种关系？
• RQ5 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 的K-理论是否编码了如 $ K $ 的类数等算术不变量？如果没有，需要何种更精细的结构才能恢复这些不变量？

主要发现

• 对于仅以 $ \pm1 $ 为根的单位根的数域 $ K $，其 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 的K-理论同构于 $ \Lambda^*(\Gamma) \oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\Gamma)) $，其中 $ \Gamma $ 为 $ K^\times $ 的挠自由部分，当 $ K $ 至少有两个实嵌入时，出现 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-扭变。
• 排除单位根的 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 子代数的K-理论同构于 $ \Lambda^*(\Gamma) \oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\Gamma)) $，其中 $ \Gamma $ 为 $ K^\times $ 的挠自由部分，且 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-因子恰好在 $ K $ 的实嵌入数为偶数且至少为两个时出现。
• 半直积 $ C_0(\mathbb{A}_\infty) \rtimes P_K $ 与 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 在Morita等价意义下同构，从而可在K-理论计算中使用同伦方法。
• 半直积 $ C_0(\mathbb{A}) \rtimes P_K $ 与群C*-代数 $ C^*(P_K) $ 之间Morita等价，且该等价性在乘法作用下是等变的。
• 当 $ K = \mathbb{Q} $ 时，$ C^*(P_K) $ 的K-理论为 $ K_0(C^*(\{\pm1\})) \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\mathbb{Q}_{>0}) $，显示出与正有理数上外代数的联系。
• $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 的K-理论不包含关于 $ K $ 的类数的信息，表明需要 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 内部更精细的代数结构才能恢复此类不变量。