[论文解读] $C^*$-algebras associated with the $ax+b$-semigroup over $\mathbb N$

Joachim Cuntz|ArXiv.org|Nov 17, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文引入了一个与自然数上的 $ ax+b $-半群相关的纯无限简单 C*-代数 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$，通过添加一个酉生成元来编码加法平移。证明其同构于有理数上的 $ ax+b $-群作用于紧致 adele 空间上的连续函数在无穷远处消失的代数的半直积，并计算了其 K-理论，其生成元与素数相关。

ABSTRACT

We present a $C^*$-algebra which is naturally associated to the $ax+b$-semigroup over $\mathbb N$. It is simple and purely infinite and can be obtained from the algebra considered by Bost and Connes by adding one unitary generator which corresponds to addition. Its stabilization can be described as a crossed product of the algebra of continuous functions, vanishing at infinity, on the space of finite adeles for $\mathbb Q$ by the natural action of the $ax+b$-group over $\mathbb Q$.

研究动机与目标

• 构造一个与自然数上的 $ ax+b $-半群自然关联的 $ C^* $-代数，通过引入加法平移扩展 Bost-Connes 代数。
• 通过等距算子与一个酉生成元的普遍关系，证明所得 $ C^* $-代数 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 的简单性与纯无限性。
• 将 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 描述为有理数的 Bunce-Deddens 代数与 $ \mathbb{N}^\times $ 的半直积，并证明其稳定化同构于 $ \mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f) $ 与有理数上的 $ ax+b $-群的半直积。
• 研究当乘法半群扩展至 $ \mathbb{Z}^\times $ 时的类似构造，得到一个具有二面体对称性且 K-理论奇偶性发生偏移的 $ C^* $-代数 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} $。
• 计算 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 与 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} $ 的 K-理论，识别出与素数及其在代数结构中分布相关的生成元。

提出的方法

• 将 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 定义为由等距算子 $ s_n $（$ n \in \mathbb{N}^\times $）与一个酉算子 $ u $ 生成的普遍 $ C^* $-代数，满足关系 $ s_n s_m = s_{nm} $，$ s_n u = u^n s_n $，以及 $ \sum_{k=0}^{n-1} u^k e_n u^{-k} = 1 $，其中 $ e_n = s_n s_n^* $。
• 在 $ \ell^2(\mathbb{N}) $ 上通过移位算子 $ v^k $ 与乘法算子 $ s_n $ 构造 $ ax+b $-半群的典范表示，满足关系 $ s_n v^k = v^{nk} s_n $。
• 将这些算子生成的 $ C^* $-代数的商代数取为 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $，通过模去紧算子来强制加法生成元的酉性。
• 证明 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 同构于半直积 $ \mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}} $，其中 $ \mathbb{A}_f $ 为有限 adele 空间，$ P^{+}_{\mathbb{Q}} $ 为有理数上的 $ ax+b $-群。
• 分析 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 的稳定化，并证明其同构于 $ \mathcal{C}_0(\mathbb{R}) $ 与 $ P^{+}_{\mathbb{Q}} $ 的半直积，揭示有限 adele 与无限 adele 之间的对偶性。
• 对于 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} $，将构造扩展至包含乘法部分中的负整数，形成 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 的 $ \mathbb{Z}/2 $-半直积，并通过 $ C^*(D) $（无限二面体群的群 $ C^* $-代数）上的矩阵代数的归纳极限计算其 $ K $-理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何自然地将一个 $ C^* $-代数与自然数上的 $ ax+b $-半群关联起来，同时包含乘法与加法结构？
• RQ2 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 作为半直积的结构是什么？它与 Bost-Connes 代数及 adele 环 $ \mathbb{A}_f $ 有何关系？
• RQ3 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 的 $ K $-理论是什么？其生成元如何与素数相关？
• RQ4 当乘法半群扩展至 $ \mathbb{Z}^\times $ 时，构造如何变化？$ \mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} $ 的 $ K $-理论是什么？
• RQ5 规范的一参数群及其不动点代数在 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} $ 的结构中起什么作用？

主要发现

• $ C^* $-代数 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 是纯无限且简单的，作为 $ ax+b $-半群 $ C^* $-代数的商代数，其关系强制了加法生成元的酉性。
• $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 同构于有理数的 Bunce-Deddens 代数与乘法半群 $ \mathbb{N}^\times $ 的半直积，其稳定化同构于 $ \mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}} $。
• $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 的 $ K $-理论为 $ K_0(\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}) = \mathbb{Z}^\infty $ 与 $ K_1(\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}) = \mathbb{Z}^\infty $，其生成元由素数决定。
• $ \mathcal{Q}_{\mathbb{N}} $ 的稳定化也同构于半直积 $ \mathcal{C}_0(\mathbb{R}) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}} $，揭示了有限 adele 与无限 adele 之间的对偶性。
• 对于 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} $，其 $ K $-理论为 $ K_0(\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}^\infty $ 与 $ K_1(\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}^\infty $，由于 $ \mathbb{Z}/2 $-作用导致 $ K_0 $ 与 $ K_1 $ 之间出现奇偶性偏移。
• 规范一参数群在 $ \mathcal{Q}_{\mathbb{Z}} $ 上的不动点代数是 Bunce-Deddens 代数的二面体群类比，其 $ K $-理论由一个对称的谱投影与满足 $ fuf = u^* $ 的酉算子生成。