[论文解读] $C^*$-algebras generated by projective representations of free nilpotent groups

Tron Omland|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Advanced Operator Algebra Research被引用 6

一句话总结

本文计算了阶数为2、秩为$n$的自由幂零群的二上循环，表明其扭曲群$C^*$-代数同构于以$\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$为基的连续场，纤维为非交换$n$-环面。本文建立了这些$C^*$-代数的简化条件，并识别出$\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$与$V(n)^n$作为上同调上的自同构群作用，提供同构不变量，并与$K$-理论分类相联系。

ABSTRACT

We compute the two-cocycles (or multipliers) of the free nilpotent groups of class $2$ and rank $n$ and give conditions for simplicity of the corresponding twisted group $C^*$-algebras. These groups are representation groups for $\mathbb{Z}^n$ and can be considered as a family of generalized Heisenberg groups with higher-dimensional center. Their group $C^*$-algebras are in a natural way isomorphic to continuous fields over $\mathbb{T}^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ with the noncommutative $n$-tori as fibers. In this way, the twisted group $C^*$-algebras associated with the free nilpotent groups of class $2$ and rank $n$ may be thought of as "second order" noncommutative $n$-tori.

研究动机与目标

• 计算自由幂零群$G(n)$在阶数为2、秩为$n$时的第二上同调群$H^2(G(n), \mathbb{T})$。
• 刻画与二上循环$\sigma$相关的扭曲群$C^*(G(n), \sigma)$的结构，特别是其简化性。
• 描述$\mathrm{Aut}(G(n))$在$H^2(G(n), \mathbb{T})$上的作用，并推导扭曲$C^*$-代数的同构不变量。
• 将$C^*$-代数与以$\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$为基、非交换$n$-环面为纤维的连续场相联系，推广了海森堡群的情形。

提出的方法

• 将$G(n)$分解为半直积，以应用Mackey的诱导表示技术来计算二上循环。
• 通过矩阵$T \in \mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{Z})$显式参数化二上循环，满足$T_{jk} = -T_{kj}$，从而得到$H^2(G(n), \mathbb{T}) \cong \mathbb{T}^{n(n-1)(n+1)/6}$。
• 将$C^*(G(n), \sigma)$构造为由满足特定交换关系（涉及$\sigma$）的单位元生成的泛$C^*$-代数，关系由群的结构导出。
• 证明$C^*(G(n), \sigma)$同构于基为$H^2(G(n), \mathbb{T}) \cong \mathbb{T}^{n(n-1)(n+1)/6}$的连续场，其纤维为非交换$n$-环面。
• 分析$\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$在$H^2(G(n), \mathbb{T})$上的作用，通过映射$A \mapsto \widetilde{A}$，其中$\widetilde{A}_{jk,lm} = \det\begin{pmatrix} a_{jk} & a_{jl} \\ a_{lk} & a_{ll} \end{pmatrix}$，并证明对所有$\varphi \in V(n)^n$有$\sigma_\varphi \sim \sigma$，即单群部分作用平凡。
• 应用Packer与Raeburn关于同伦与$K$-理论的结果，证明$K_i(C^*(G(n), \sigma)) \cong K^{i + n(n-1)/2}_{\text{top}}(G(n,\mathbb{R})/G(n))$，并利用此结果对$C^*(G(n), \sigma)$在UCT类中进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由幂零群$G(n)$在阶数为2、秩为$n$时，第二上同调群$H^2(G(n), \mathbb{T})$的结构是什么？
• RQ2 扭曲群$C^*$-代数$C^*(G(n), \sigma)$在何种条件下是简化的？
• RQ3 $\mathrm{Aut}(G(n))$如何作用于$H^2(G(n), \mathbb{T})$，由此产生的$C^*(G(n), \sigma)$的同构不变量是什么？
• RQ4 能否将$C^*(G(n), \sigma)$实现为以$\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$为基、非交换$n$-环面为纤维的连续场？这一构造如何推广海森堡群的情形？
• RQ5 $C^*$-代数$C^*(G(n), \sigma)$是否能通过其$K$-理论分类？统一系数定理在此分类中起什么作用？

主要发现

• 第二上同调群被计算为$H^2(G(n), \mathbb{T}) \cong \mathbb{T}^{n(n-1)(n+1)/6}$，显式二上循环由$n \times n$阶的斜对称整数矩阵参数化。
• 扭曲群$C^*$-代数$C^*(G(n), \sigma)$同构于以$\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$为基的连续场，其纤维为非交换$n$-环面，推广了海森堡群的情形。
• 当且仅当引理由4.8中的关联矩阵$T$具有满秩$n$时，$C^*(G(n), \sigma)$是简化的，这确保了不存在非平凡的中心$\sigma$-正则元素。
• $V(n)^n \subset \mathrm{Aut}(G(n))$在$H^2(G(n), \mathbb{T})$上的作用是平凡的，即对所有$\varphi \in V(n)^n$有$\sigma_\varphi \sim \sigma$，因此该自同构群部分无法区分同构类。
• $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$-作用在$H^2(G(n), \mathbb{T})$上由$A \cdot T = A T \widetilde{A}$给出；若$A \cdot T = T'$，则$C^*(G(n), \sigma) \cong C^*(G(n), \sigma')$，这为同构提供了充分条件。
• 当$n=2$时，$\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$-作用足以分类同构类，但当$n \geq 3$时，轨道是否分类同构类型的问题仍悬而未决。