[论文解读] $C^*$-algebras of inverse semigroups: amenability and weak containment

David Milan|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文确立了弱包含作为反演半群的合适可约性概念，表明一个反演半群 $S$ 具有弱包含当且仅当其最大群同态像为可约的，且其核为 $C^*$-等距且弱包含。通过群分次方法将其扩展至含零的反演半群，证明图反演半群和 Nica 的 $\tau_{G,P}$ 半群具有弱包含当且仅当其关联群或拟格序对为可约的。

ABSTRACT

We argue that weak containment is an appropriate notion of amenability for inverse semigroups. Given an inverse semigroup $S$ and a homomorphism $ϕ$ of $S$ onto a group $G$, we show, under an assumption on $\ker(ϕ)$, that $S$ has weak containment if and only if $G$ is amenable and $\ker(ϕ)$ has weak containment. Using Fell bundle amenability, we find a related result for inverse semigroups with zero. We show that all graph inverse semigroups have weak containment and that Nica's inverse semigroup $\mcT_{G,P}$ of a quasi-lattice ordered group $(G,P)$ has weak containment if and only if $(G,P)$ is amenable.

研究动机与目标

• 确立弱包含作为反演半群的稳健、群论类比的可约性概念。
• 解决现有反演半群可约性概念的局限性，特别是针对含零或无限幂等元集的半群。
• 通过群分次与费尔 bundle 可约性，将弱包含的刻画推广至含零的反演半群。
• 证明图反演半群和 Nica 的 $\tau_{G,P}$ 半群具有弱包含当且仅当其关联群或有序对为可约的。

提出的方法

• 使用泛 $C^*$-代数 $C^*(S)$ 和约化 $C^*$-代数 $C^*_r(S)$，将弱包含定义为 $C^*(S)$ 与 $C^*_r(S)$ 之间的同构。
• 引入 $C^*$-等距子半群 $H$ 在 $S$ 中的概念，其中对所有 $g \notin H$，有 $\norm{g}_{C^*(S)} = \norm{g}_{C^*(H)}$，以确保范数的相容性。
• 应用费尔 bundle 可约性理论，通过群分次 $\theta: S \to G^0$（满足 $\theta^{-1}(0) = \{0\}$）将结果推广至含零的反演半群。
• 采用 Lawson 的泛分次构造，定义强 $E^*$-单位反演半群，将 $E$-单位半群推广至含零的情形。
• 利用限制映射 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ 的正性来建立 $C^*$-等距性，特别是当 $H = E(S)$ 或对每个 $g \ne 1_G$ 有 $S_g = s_g H$ 时。
• 应用 Exel 等人关于费尔 bundle 可约性的结果，表明当其关联结构为可约时，图反演半群和 $\tau_{G,P}$ 半群具有弱包含。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱包含是否是反演半群的合适可约性推广，特别是在标准概念因含零或无限幂等元集而失效时？
• RQ2 当 $G$ 为可约且 $\theta^{-1}(1_G)$ 为 $C^*$-等距时，反演半群 $S$ 沿着满同态 $\theta: S \to G$ 具有弱包含的条件是什么？
• RQ3 如何将弱包含的概念扩展至含零的反演半群，此时其群同态像为平凡？
• RQ4 图反演半群和 Nica 的 $\tau_{G,P}$ 半群是否具有弱包含当且仅当其关联群或有序对为可约？
• RQ5 在什么条件下，限制映射 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ 为正？其与 $C^*$-等距性和弱包含的关系如何？

主要发现

• 在 $C^*$-等距性假设下，反演半群 $S$ 具有弱包含当且仅当其最大群同态像 $G(S)$ 为可约，且核 $\text{ker}(\theta)$ 为 $C^*$-等距且具有弱包含。
• 对于 $E$-单位反演半群，弱包含成立当且仅当其最大群像为可约，推广了关于 $E$-单位 Clifford 半群的已知结果。
• 图反演半群具有弱包含，因为它们是强 $E^*$-单位的，具有自由泛分次，且其关联费尔 bundle 为可约。
• Nica 的反演半群 $\tau_{G,P}$ 具有弱包含当且仅当在 Nica 意义下，拟格序对 $(G,P)$ 为可约。
• 当 $H = E(S)$ 或每个纤维 $S_g$ 为陪集 $s_g H$ 时，限制映射 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ 为正，这表明 $H$ 在 $S$ 中为 $C^*$-等距。
• Bruck-Reilly 扩张 $BR(G,\theta)$ 具有弱包含当且仅当群 $G$ 为可约，因为其核为 Clifford $\rho$-半群，且所有极大子群同构于 $G$。