[论文解读] C*-algebras of labelled graphs

Teresa Bates, David Pask|ArXiv.org|Mar 18, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 41

一句话总结

本文提出了一套统一的标号图C*-代数框架，该框架推广了超图代数和松本的移位空间C*-代数。通过定义弱左解析标号空间并建立规范不变唯一性定理，作者展示了如何通过其最小左解析表示，为不可约Sofic移位唯一地构造一个简单C*-代数，从而解决了不同移位代数构造之间的非同构问题。

ABSTRACT

We describe a class of $C^*$-algebras which simultaneously generalise the ultragraph algebras of Tomforde and the shift space $C^*$-algebras of Matsumoto. In doing so we shed some new light on the different $C^*$-algebras that may be associated to a shift space. Finally, we show how to associate a simple $C^*$-algebra to an irreducible sofic shift.

研究动机与目标

• 在统一的框架下整合超图代数与松本的移位空间C*-代数的研究。
• 通过证明O_Λ与O_Λ*源于非同构的标号图，解决移位空间中O_Λ与O_Λ*非同构的问题。
• 利用最小左解析表示，为不可约Sofic移位提供一个自然的简单C*-代数构造。
• 证明标号图C*-代数构成的类严格大于图代数类，因为其中一些代数与任何图代数均不莫代等价。

提出的方法

• 引入标号空间(E, π, C)的概念，其中E为有向图，π: E¹ → A为边的标号，C ⊆ 2^{E⁰}为顶点集的集合。
• 通过部分等距{s_a}与投影{p_A}定义标号空间的表示，并满足广义的Cuntz-Krieger关系。
• 在C上引入弱左解析条件，以保证存在普遍C*-代数C*(E, π, C)。
• 为C*(E, π, C)建立规范不变唯一性定理，以实现与已知C*-代数的同构结果。
• 构造对偶标号空间，以推广移位空间的高阶块表示。
• 利用普遍性质与规范作用，证明当底层图是行有限且C包含所有单点集时，C*(E, π, C)同构于图C*-代数C*(E)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单一代数框架下统一超图代数与松本的移位空间C*-代数？
• RQ2 为何对某些移位空间，O_Λ与O_Λ*非同构？这一现象能否通过标号图解释？
• RQ3 能否为不可约Sofic移位自然地关联一个简单C*-代数？若能，其条件为何？
• RQ4 是否存在与任何图代数均不莫代等价的标号图C*-代数？
• RQ5 在何种条件下，标号空间的C*-代数同构于其底层图的C*-代数？

主要发现

• 标号空间的C*-代数C*(E, π, C)是弱左解析表示的普遍代数，推广了超图代数与移位空间C*-代数。
• 当标号图满足行有限、标号有限且左解析，且对所有v ∈ E⁰有{v} ∈ C时，有C*(E, π, C) ≅ C*(E)，即图C*-代数。
• 当超图G行有限时，其超图代数C*(G)同构于其底层有向图E_G的C*-代数，即C*(E_G) ≅ C*(E_G, π_G, E_G⁰)。
• 当(E_Λ, π_Λ)为Sofic移位Λ的左-Krieger覆盖时，Matsumoto代数O_Λ同构于C*(E_Λ, π_Λ, E_Λ⁰)。
• 对不可约Sofic移位，其最小左解析表示(E, π)可导出一个简单C*-代数C*(E, π, E⁰_−) ≅ C*(E, π, E⁰)，从而解决了非最小表示下的非单性问题。
• 存在与任何图代数均不莫代等价的标号图C*-代数，表明标号图C*-代数构成的类严格大于图代数类。