[论文解读] C-Codes: Cyclic Lowest-Density MDS Array Codes Constructed Using Starters for RAID 6

Mingqiang Li, Jiwu Shu|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Advanced Data Storage Technologies参考文献 27被引用 14

一句话总结

本文提出了 C-Codes，一种用于 RAID 6 的循环、最低密度 MDS 矩阵码，通过在群 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 中构造偶起始元，实现了最优存储效率、最小更新复杂度和循环对称性。证明了每个长度为 $2n$ 的 C-Code 对应一个偶起始元，建立了 C-Codes 与其孪生码之间的对偶关系，并为长度 $p-1$（其中 $p$ 为素数）构造了四个无限家族（其中三个为新提出）的 C-Codes，同时为 8 等存在问题的偶数长度构造了两个新的准 C-Codes 无限家族。

ABSTRACT

The distance-3 cyclic lowest-density MDS array code (called the C-Code) is a good candidate for RAID 6 because of its optimal storage efficiency, optimal update complexity, optimal length, and cyclic symmetry. In this paper, the underlying connections between C-Codes (or quasi-C-Codes) and starters in group theory are revealed. It is shown that each C-Code (or quasi-C-Code) of length $2n$ can be constructed using an even starter (or even multi-starter) in $(Z_{2n},+)$. It is also shown that each C-Code (or quasi-C-Code) has a twin C-Code (or quasi-C-Code). Then, four infinite families (three of which are new) of C-Codes of length $p-1$ are constructed, where $p$ is a prime. Besides the family of length $p-1$, C-Codes for some sporadic even lengths are also presented. Even so, there are still some even lengths (such as 8) for which C-Codes do not exist. To cover this limitation, two infinite families (one of which is new) of quasi-C-Codes of length $2(p-1)$ are constructed for these even lengths.

研究动机与目标

• 为 RAID 6 存储系统设计具有最优存储效率和更新复杂度的循环、最低密度 MDS 矩阵码。
• 在群论的组合结构（特别是 $\mathbb{Z}_{2n}$ 中的偶起始元）与 C-Codes 之间建立理论联系。
• 构造覆盖此前不支持的偶数长度（如 8）的 C-Codes 和准 C-Codes 的无限家族。
• 证明每个长度为 $2n$ 的 C-Code 对应于 $\mathbb{Z}_{2n}$ 中的一个偶起始元，且每个 C-Code 均存在一个孪生 C-Code。
• 通过引入适用于偶数长度的准 C-Codes，将循环 MDS 矩阵码的应用范围从长度 $p-1$ 扩展至更广的范围。

提出的方法

• 在加法群 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 中使用偶起始元构造 C-Codes，其中每个起始元对应一组生成码的校验结构的配对。
• 通过在基础图上添加两个无穷远顶点 $\infty_1$ 和 $\infty_2$，定义 $2n$-正则图在 $2n+2$ 个顶点上的双棱锥型 1-因子分解。
• 使用算法 2 通过模 $2n$ 的循环加法对基础 1-因子 $\tilde{C}_0$ 进行平移，生成 1-因子 $\tilde{C}_i$，以确保循环对称性。
• 通过证明任意两个 1-因子的并集形成哈密顿回路，证明所得 1-因子分解为完美 1-因子分解。
• 利用抽屉原理与反证法，证明 $\mathbb{Z}_{2n}$ 中每个非零元素 $i$，$i \neq n$，必须可表示为起始元集中配对的差值。
• 对于 C-Codes 不存在的偶数长度（如长度 8），通过使用偶多重起始元引入准 C-Codes，并为长度 $2(p-1)$ 构造了两个新的无限家族的此类码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过组合群结构系统地构造用于 RAID 6 的循环、最低密度 MDS 矩阵码？
• RQ2 C-Codes 与群 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 中的偶起始元之间存在何种精确联系？
• RQ3 对于哪些偶数长度 $2n$ 存在 C-Codes？当不存在时应如何处理？
• RQ4 每个 C-Code 及其孪生 C-Code 是否共享对称性质，从而保持最优性能？
• RQ5 能否为长度超过 $p-1$（特别是如 8 这类孤立偶数长度）构造 C-Codes 和准 C-Codes 的无限家族？

主要发现

• 每个长度为 $2n$ 的 C-Code 对应于 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 中的一个偶起始元，建立了码构造与群论结构之间的一一对应关系。
• 每个 C-Code 均存在一个孪生 C-Code，该孪生码同样是循环、最低密度 MDS 矩阵码，且具有相同的性能指标。
• 为长度 $p-1$（其中 $p$ 为素数）构造了四个无限家族的 C-Codes；其中三个家族为本文首次提出。
• 对于 C-Codes 不存在的偶数长度（如 8），为长度 $2(p-1)$ 构造了两个新的无限家族的准 C-Codes，其中一个家族为新引入。
• 所构造的 1-因子分解被证明是完美的，因为任意两个 1-因子的并集均形成哈密顿回路，从而确保了码的最优性质。
• 该构造确保了最优更新复杂度与存储效率，所有校验更新仅需异或（XOR）操作，使这些码在 RAID 6 与分布式存储系统中具有实际应用价值。