[论文解读] c horizontal convexity on Carnot groups

Andrea Calogero, R. Pini|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Point processes and geometric inequalities被引用 7

一句话总结

本文在Carnot群上引入了一种类c水平凸性（c H-凸性）的新概念，通过使用与c相关的水平结构上的仿射函数的上确界表示，推广了经典凸性。主要贡献在于：c H-凸函数是局部H-半凸的，几乎处处存在水平导数，并且可通过非空的c H-次微分与c H-循环单调性完全表征，从而实现类似Rockafellar的恢复定理，并应用于Heisenberg群框架下的最优质量传输。

ABSTRACT

Given a real-valued function $c$ defined on the cartesian product of a generic Carnot group $\G$ and the first layer $V_1$ of its Lie algebra, we introduce a notion of $c$ horizontal convex ($c$ H-convex) function on $\G$ as the supremum of a suitable family of affine functions; this family is defined pointwisely, and depends strictly on the horizontal structure of the group. This abstract approach provides $c$ H-convex functions that, under appropriate assumptions on $c,$ are characterized by the nonemptiness of the $c$ H-subdifferential and, above all, are locally H-semiconvex, thereby admitting horizontal derivatives almost everywhere. It is noteworthy that such functions can be recovered via a Rockafellar technique, starting from a suitable notion of $c$ H-cyclic monotonicity for maps. In the particular case where $c(g,v)=< ξ_1(g),v >,$ we obtain the well-known weakly H-convex functions introduced by Danielli, Garofalo and Nhieu. Finally, we suggest a possible application to optimal mass transportation.

研究动机与目标

• 通过在G × V₁上定义的一般代价函数c，引入一类新函数——c水平凸（c H-凸）函数，以推广Carnot群中的经典凸性。
• 建立c H-凸函数为局部H-半凸且几乎处处存在水平导数，确保分析所需的足够正则性。
• 通过c H-次微分的非空性表征c H-凸函数，将Rockafellar的对偶框架扩展至子黎曼几何设置。
• 证明c H-凸函数可由c H-循环单调的映射恢复，与经典凸分析中的结果相呼应。
• 通过c H-凸族及其次微分构造“势函数”，提出在Heisenberg群中应用最优质量传输的潜在方案。

提出的方法

• 将c H-凸函数定义为形如g ↦ c(g, v) + α的c相关仿射函数的逐点上确界，其中v ∈ V₁且α ∈ ℝ，且该函数族由支持沿水平曲线的(v, α)索引。
• 引入c H-次微分∂ₕᶜf(g)为所有满足对所有g' ∈ G有f(g') ≥ c(g', v) + α的(v, α)的集合，从而在水平设置中推广次梯度概念。
• 证明c H-凸函数是局部H-半凸的，从而几乎处处存在水平导数，利用Carnot群的内在水平结构。
• 证明c H-凸性等价于其关联次微分映射的c H-循环单调性，将Rockafellar定理推广至子黎曼背景。
• 从c H-循环单调映射T构造一族局部c H-凸函数{ψ_g}，利用定理6.2确保c H-次微分的局部正则性与几乎处处单值性。
• 通过局部次微分的交集定义全局势函数，即∂ₕᶜΨ(g) = ⋂_{g' ∈ dom(ψ_g')} ∂ₕᶜψ_g'(g)，以几乎必然的方式恢复最优传输映射s*。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用定义在G × V₁上的通用代价函数c，推广Carnot群中的经典凸性？
• RQ2 在何种条件下，c H-凸函数为局部H-半凸且几乎处处存在水平导数？
• RQ3 c H-凸函数能否通过其c H-次微分的非空性完全表征，类似于Euclidean空间中Rockafellar的表征？
• RQ4 多值映射的c H-循环单调性在多大程度上能保证c H-凸势函数的存在？
• RQ5 c H-凸性理论如何用于在Heisenberg群中构造最优传输映射？

主要发现

• c H-凸函数是局部H-半凸的，从而在群上几乎处处存在水平导数。
• c H-凸函数的c H-次微分在其定义域内每一点均非空，推广了经典次微分非空性结果。
• c H-凸函数可通过类似Rockafellar的定理由其c H-次微分恢复，建立了函数与其次微分之间的对偶性。
• c H-凸性等价于其关联次微分映射的c H-循环单调性，扩展了凸分析中的一个基本结果。
• 可构造一族局部c H-凸函数{ψ_g}，使得其次微分适当相交，从而定义全局势函数∂ₕᶜΨ(g)，用于表征最优传输映射。
• 最优传输映射s*几乎必然由s*(g) = g exp( (𝕏c(g,·))⁻¹(𝕏Ψ(g)) − ξ₁(g) )给出，其中𝕏Ψ(g)为势函数族的水平导数。