[论文解读] C-infinity regularization of ODEs perturbed by noise

Fabian A. Harang, Nicolas Perkowski|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 13

一句话总结

本文提出了一种针对由不规则路径扰动的常微分方程（ODE）的路径无关正则化框架，表明若扰动路径具有足够规则的局部时间——尤其是属于索伯列夫空间时——则解唯一存在，并诱导出一个$C^\infty$微分同胚流。该方法依赖于非线性杨积分与局部时间分析，将结果从随机噪声推广至一般正则化路径。

ABSTRACT

We study ODEs with vector fields given by general Schwartz distributions, and we show that if we perturb such an equation by adding an "infinitely regularizing" path, then it has a unique solution and it induces an infinitely smooth flow of diffeomorphisms. We also introduce a criterion under which the sample paths of a Gaussian process are infinitely regularizing, and we present two processes which satisfy our criterion. The results are based on the path-wise space-time regularity properties of local times, and solutions are constructed using the approach of Catellier-Gubinelli based on non-linear Young integrals.

研究动机与目标

• 开发一种完全基于路径的正则化框架，用于分布向量场的ODE，独立于概率零测集。
• 确定路径$w$的条件，使得扰动ODE$y_t^x = x + \int_0^t b(y_r)\,dr + \epsilon w_t$的解在初值$x$下唯一且光滑。
• 建立在局部时间具有适当正则性时，流映射$x \mapsto y_t^x$为无限次可微（$C^\infty$）的结论。
• 为高斯过程提供一个通用准则，使其具备无限正则化能力，适用于分数布朗运动之外的场景。
• 通过在索伯列夫空间中工作而非傅里叶-勒贝格或贝索夫空间，统一确定性与随机正则化，使结果可广泛适用于霍尔德类或$L^2$-索伯列夫类的$b$。

提出的方法

• 利用非线性杨积分理论，基于扰动路径$w$的正则性，定义$b$为分布时的积分$\int_0^t b(y_r)\,dr$。
• 控制路径$w$的局部时间$L$的时空正则性，证明在适当条件下$L$属于$W^{\gamma,2}$且$\gamma > 1/2$。
• 将积分表示为卷积形式：$\int_0^t b(x + w_s)\,ds = b * L(-\cdot)$，从而通过索伯列夫空间中的卷积估计实现控制。
• 应用粘合引理（sewing lemma）构造解并以路径无关方式证明存在性与唯一性，避免依赖于$b$相关的零测集。
• 通过粘合引理迭代求导，推导高阶弗雷chet导数，证明流映射的无限可微性。
• 识别出一类高斯过程（例如具有独立增量且局部时间霍尔德连续的）满足实现$C^\infty$正则化的所需正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种路径无关条件下，ODE$y_t^x = x + \int_0^t b(y_r)\,dr + \epsilon w_t$对分布向量场$b$存在唯一解？
• RQ2 能否仅通过路径无关分析证明流映射$x \mapsto y_t^x$在初值$x$下为无限次可微（$C^\infty$）？
• RQ3 路径$w$的局部时间$L$需具备何种正则性，才能确保ODE的$C^\infty$正则化？
• RQ4 哪些高斯过程的局部时间具有足够的索伯列夫正则性，可使ODE在$b$属于$L^2$或霍尔德空间时诱导出$C^\infty$流？
• RQ5 如何使正则化效应独立于向量场$b$，避免依赖于$b$的零测集？

主要发现

• 若路径$w$的局部时间$L$属于$W^{\gamma,2}$且$\gamma > 1/2$，则对所有$x$，具有分布漂移$b$的ODE存在唯一解。
• 在$L$满足相同正则性条件时，解映射$x \mapsto y_t^x$在$C([0,\tau], \mathbb{R}^d)$中无限次弗雷chet可微，对任意$\tau \in (0,T]$成立。
• 若$w$的局部时间属于$W^{\gamma,2}$且$\gamma > 1/2$，则对所有$t \in (0,T]$，流为$C^\infty$微分同胚。
• 该方法通过依赖$L$的路径正则性，避免了概率零测集，使结果可推广至非随机路径。
• 识别出两类满足所需局部时间正则性的高斯过程：具有独立增量的，以及局部时间属于$W^{\gamma,2}$且$\gamma > 1/2$的霍尔德连续类。
• 该方法推广了卡捷利耶-古比内利及弗兰多利-波利托的先前结果，将$C^\infty$正则化推广至非随机与非高斯的正则化路径。