[论文解读] $C^\infty$ partial regularity of the singular set in the obstacle problem

Federico Franceschini, Wiktoria Zatoń|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Geometry and complex manifolds被引用 2

一句话总结

本文建立了经典障碍问题中奇异集的 $C^\infty$ 局部正则性，表明奇异集 $\Sigma$ 几乎处处局部包含于一个 $C^\infty$ 超曲面中，除去一个豪斯多夫维数至多为 $n-2$ 的集合。在奇异集的正则点处，解具有任意高阶的多项式展开，且该结果被推广至平面 Hele-Shaw 流，证明自由边界仅在至多可数个时刻具有奇异点。

ABSTRACT

We show that the singular set $\Sigma$ in the classical obstacle problem can be locally covered by a $C^\infty$ hypersurface, up to an "exceptional" set $E$, which has Hausdorff dimension at most $n-2$ (countable, in the $n=2$ case). Outside this exceptional set, the solution admits a polynomial expansion of arbitrarily large order. We also prove that $\Sigma\setminus E$ is extremely unstable with respect to monotone perturbations of the boundary datum. We apply this result to the planar Hele-Shaw flow, showing that the free boundary can have singular points for at most countable many times.

研究动机与目标

• 建立障碍问题中奇异集 $\Sigma$ 的 $C^\infty$ 正则性，超越 $C^1$ 或 $C^{1,1}$ 正则性。
• 证明奇异集几乎处处局部包含于一个 $C^\infty$ 超曲面中，除去一个豪斯多夫维数至多为 $n-2$ 的集合。
• 证明在改进的奇异集 $\Sigma^\infty$ 的点上，解具有任意高阶的多项式展开。
• 分析奇异集在边界数据单调扰动下的不稳定性。
• 将结果应用于平面 Hele-Shaw 流，证明自由边界上的奇异点仅出现在至多可数个时刻。

提出的方法

• 使用多项式试探解 $P_k(x; p_2, \dots, p_k)$ 来近似奇异点附近的解，满足 $\Delta P_k = f(x) + O(|\cdot|^k)$。
• 改编 Figalli, Ros-Oton 和 Serra [6] 的方法，将正则性结果推广至五阶以上，采用统一框架实现 $C^\infty$ 正则性。
• 应用隐函数定理与 Whitney 延拓定理，证明在 $\Sigma^\infty$ 上，喷射映射 $x \mapsto (P_k,x)_{k \in \mathbb{N}}$ 的光滑性。
• 修改比较原理与屏障构造方法，以处理非常数 $f$，特别是在拉普拉斯估计 $\Delta v = -f\chi_{\{u=0\}} + O(r^k)$ 中的应用。
• 利用 Hölder 与 $L^p$ 估计控制解及其导数的增量，以控制余项。
• 分析展开误差对 $\|f\|_{C^{k+1}}$、$\mu = \inf f$ 以及维数 $n$ 的依赖关系，以确保一致控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明障碍问题中的奇异集几乎处处局部包含于一个 $C^\infty$ 超曲面中，除去一个维数为 $n-2$ 的集合？
• RQ2 在改进的奇异集 $\Sigma^\infty$ 的点上，解是否具有任意高阶的多项式展开？
• RQ3 奇异集在边界数据单调扰动下如何演化？其在时间和空间投影中的维数为何？
• RQ4 能否将 $C^\infty$ 正则性结果应用于平面 Hele-Shaw 流，以控制自由边界出现奇异点的时刻集合？
• RQ5 当 $f$ 光滑但非解析时，奇异集的精确结构为何？其与解析情形有何不同？

主要发现

• 奇异集 $\Sigma$ 几乎处处局部包含于一个 $C^\infty$ 超曲面中，除去一个豪斯多夫维数至多为 $n-2$ 的集合 $\Sigma \setminus \Sigma^\infty$，在 $n=2$ 时该集合为可数集。
• 在每个点 $x \in \Sigma^\infty$ 处，解 $u$ 具有任意高阶的多项式展开：对所有 $k \in \mathbb{N}$，有 $u(x+h) = P_{k,x}(h) + O(|h|^{k+1})$，其中 $\Delta P_{k+2,x} = f_k(x)$，即 $f$ 在 $x$ 处的 $k$ 阶泰勒多项式。
• 映射 $x \mapsto (P_{k,x})_{k \in \mathbb{N}}$ 在 $\Sigma^\infty$ 上具有 Whitney 意义下的光滑性，从而保证奇异集的 $C^\infty$ 结构。
• $\Sigma^\infty$ 极其不稳定：在边界数据的单调扰动下，$\pi_t(\Sigma^\infty)$ 在任意维数 $n \geq 2$ 下的豪斯多夫维数为 0。
• 在平面情形（$n=2$）下，$\pi_t(\Sigma)$ 的豪斯多夫维数为 0，意味着 Hele-Shaw 流中自由边界仅在至多可数个时刻具有奇异点。
• 该方法将 [6] 中的 $C^5-\varepsilon$ 正则性推广至完整的 $C^\infty$ 正则性，采用统一试探解并精确控制拉普拉斯与梯度估计中的误差。