[论文解读] $C^k$-smooth approximations of LUR norms

Petr Hájek, A. Procházka|ArXiv.org|Jan 23, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文证明，每个具有 $C^k$-Fréchet 光滑范数的 WCG Banach 空间，也存在一个等价范数，该范数同时具有 $C^1$-Fréchet 光滑性、局部一致严格凸性（LUR），且在有界集上可被 $C^k$-Fréchet 光滑范数一致逼近。对于 $X = C([0,\alpha])$，该结论在 $k = \infty$ 时仍成立，通过一种新颖的构造方法——使用逐坐标光滑函数与单位分解——解决了泛函分析中两个长期悬而未决的开问题。

ABSTRACT

Let $X$ be a WCG Banach space admitting a $C^k$-Fr\' echet smooth norm. Then $X$ admits an equivalent norm which is simultaneously $C^1$-Fr\' echet smooth, LUR, and a uniform limit of $C^k$-Fr\' echet smooth norms. If $X=C([0,α])$, where $α$ is an ordinal, then the same conclusion holds true with $k=\infty$.

研究动机与目标

• 解决一个长期悬而未决的问题：具有 $C^k$-Fréchet 光滑范数的 WCG Banach 空间是否可等价地赋予一个同时具有 $C^1$-Fréchet 光滑性与局部一致严格凸性（LUR）的范数，且该范数可在有界集上被 $C^k$-光滑范数一致逼近。
• 将该结果推广至空间 $C([0,\alpha])$，证明存在一个 $C^\infty$-光滑、LUR 且可被 $C^k$-光滑范数一致逼近的范数。
• 提出一种构造性方法，利用逐坐标光滑函数与单位分解生成此类范数。
• 证明在某些空间中，如 $C([0,\omega_1])$，尽管不存在对偶 LUR 范数，但 $C^1$-光滑与 LUR 范数仍可共存。

提出的方法

• 基于指标集 $\Gamma$ 的有限子集上的投影，利用逐坐标光滑截断与单位分解，构造一系列 $C^k$-光滑函数 $J_{i,n,m,i}$。
• 通过隐函数定理，将 Minkowski 泛函 $J_i$ 定义为平方 $C^k$-光滑函数 $\tilde{J}_i$ 的子水平集所对应的范数，确保 $J_i$ 为 $C^k$-光滑。
• 使用一族函数 $\xi_{\delta_n}$ 局部化范数在有限维投影附近的性质，以保证在有界集上的一致收敛性。
• 应用引理 5.6 与引理 5.3，控制中间函数 $H_{n,m}x$ 的收敛性，并确保其在扰动下的稳定性。
• 通过涉及 $\ell^1$-可 summable 权重 $\frac{1}{2^{j+n+m}}$ 的估计，建立 $\tilde{J}_i$ 在单位开球上对 $\tilde{J}$ 的一致收敛性。
• 通过反证法，利用范数比 $\lambda_i = d_i/c_i$ 证明 $J_i \to J$ 在有界集上一致收敛，借助估计式 $|\lambda - 1| \leq 2|\tilde{J}(\lambda x) - 1/2|$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有 $C^k$-Fréchet 光滑范数的 WCG Banach 空间是否可等价地赋予一个同时具有 $C^1$-光滑性与 LUR 性的范数，且该范数可在有界集上被 $C^k$-光滑范数一致逼近？
• RQ2 空间 $C([0,\alpha])$ 是否存在一个 $C^\infty$-光滑、LUR 范数，且该范数可被 $C^k$-光滑范数一致逼近，对任意序数 $\alpha$ 成立？
• RQ3 是否可能构造一个范数，使其同时具有 $C^1$-Fréchet 光滑性与 LUR 性，且存在于不存在对偶 LUR 范数的某些空间中，如 $C([0,\omega_1])$？
• RQ4 能否在同时保持强严格凸性与光滑性的前提下，实现范数被 $C^k$-光滑范数一致逼近？
• RQ5 $C^1$-光滑与 LUR 范数在 $C([0,\alpha])$ 上的等价范数空间中是否为稠密或剩余？

主要发现

• 每个具有 $C^k$-Fréchet 光滑范数的 WCG Banach 空间，均存在一个等价范数，该范数同时具有 $C^1$-Fréchet 光滑性、LUR 性，且在有界集上可被 $C^k$-Fréchet 光滑范数一致逼近。
• 对于 $X = C([0,\alpha])$，该结论在 $k = \infty$ 时仍成立，即该范数为 $C^\infty$-光滑，且可在有界集上被 $C^k$-光滑范数一致逼近。
• 所构造的范数 $J$ 是 $C^k$-Fréchet 光滑范数 $J_i$ 在有界集上的一致极限，满足 $J_i \to J$ 在 $X$ 的每个有界子集上一致收敛。
• 该构造避免依赖对偶 LUR 范数，从而使得在 $C([0,\omega_1])$ 等不存有对偶 LUR 范数的空间中，仍可存在 $C^1$-光滑与 LUR 范数。
• 该方法通过隐函数定理确保所有 $i$ 的 $J_i$ 均为 $C^k$-光滑，且由于有限个 $C^k$-光滑函数的和 $\tilde{J}_i$ 仍为 $C^k$-光滑。
• 证明通过 $\ell^1$-可 summable 权重与差值估计 $|J_{j,n,m,i}^2(x) - J_{j,n,m}^2(x)|$，建立了 $\tilde{J}_i$ 在单位开球上对 $\tilde{J}$ 的一致收敛性。