[论文解读] C^m Eigenfunctions of Perron-Frobenius Operators and a New Approach to Numerical Computation of Hausdorff Dimension

Richard S. Falk, Roger D. Nussbaum|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值方法，通过分析 Perron-Frobenius 算子的 $C^m$ 特征函数，计算迭代函数系统（IFS）中不变集的 Hausdorff 维数。该方法在 $C^k$ 空间中使用分段线性函数进行配点法，严格界定了参数化转移算子的谱半径 $ olambda_s$，其中 Hausdorff 维数 $s_*$ 被确定为唯一满足 $ olambda_s = 1$ 的 $s$ 值，且随着网格尺寸减小，该方法实现了带误差界的有效收敛。

ABSTRACT

We develop a new approach to the computation of the Hausdorff dimension of the invariant set of an iterated function system or IFS. In the one dimensional case, our methods require only C^3 regularity of the maps in the IFS. The key idea, which has been known in varying degrees of generality for many years, is to associate to the IFS a parametrized family of positive, linear, Perron-Frobenius operators L_s. The operators L_s can typically be studied in many different Banach spaces. Here, unlike most of the literature, we study L_s in a Banach space of real-valued, C^k functions, k >= 2; and we note that L_s is not compact, but has a strictly positive eigenfunction v_s with positive eigenvalue lambda_s equal to the spectral radius of L_s. Under appropriate assumptions on the IFS, the Hausdorff dimension of the invariant set of the IFS is the value s=s_* for which lambda_s =1. This eigenvalue problem is then approximated by a collocation method using continuous piecewise linear functions (in one dimension) or bilinear functions (in two dimensions). Using the theory of positive linear operators and explicit a priori bounds on the derivatives of the strictly positive eigenfunction v_s, we give rigorous upper and lower bounds for the Hausdorff dimension s_*, and these bounds converge to s_* as the mesh size approaches zero.

研究动机与目标

• 开发一种可保证误差界的严格数值方法，用于计算 IFS 中不变集的 Hausdorff 维数。
• 将 Perron-Frobenius 算子的应用从解析或 $L^p$ 空间扩展至 $C^k$ 函数空间（$k \geq 2$）。
• 为严格正特征函数的导数提供显式的先验界，以确保数值逼近的收敛性。
• 在 $C^3$ 正则性条件下，证明 Hausdorff 维数 $s_*$ 对应于谱半径 $\lambda_s = 1$ 的唯一 $s$ 值。
• 设计一种基于连续分段线性或双线性函数的配点法，可得到 $s_*$ 的收敛上界与下界。

提出的方法

• 该方法采用作用于 $C^k(\bar{H})$ 空间的参数化正线性 Perron-Frobenius 算子族 $L_{s,k}$，其定义为 $ (L_{s,k}f)(x) = \sum_{j=1}^m [b_j(x)]^s f(\theta_j(x)) $，其中在一维情况下 $b_j(x) = |\theta_j'(x)|$。
• 通过在网格上使用连续分段线性（一维）或分段双线性（二维）函数的配点法，数值计算谱半径 $\lambda_s = r(L_{s,k})$。
• 推导出严格正特征函数 $v_s$ 的导数的先验界，以控制逼近误差并确保 $s_*$ 的界收敛。
• 利用正线性算子理论和 Kreĭn-Rutman 定理，证明严格正特征函数 $v_s$ 及其特征值 $\lambda_s$ 的存在性与唯一性。
• 将 Hausdorff 维数 $s_*$ 识别为唯一满足 $\lambda_s = 1$ 的 $s$ 值，并通过配点方案获得其严格上界与下界。
• 利用 Kingman 定理证明离散逼近矩阵 $M_s$ 的谱半径 $r(M_s)$ 关于 $s$ 的对数凸性，从而实现基于 secant 方法的根求解的快速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用 $L^p$ 或解析空间的情况下，利用 $C^k$ 函数空间实现对 IFS 不 invariant 集 Hausdorff 维数的严格误差界计算？
• RQ2 基于 $C^k$ 空间中的分段线性函数的配点法，如何获得谱半径 $\lambda_s$ 的收敛上界与下界？
• RQ3 在何种条件下，Perron-Frobenius 算子 $L_s$ 的谱半径 $\lambda_s$ 恰好在 Hausdorff 维数 $s_*$ 处满足 $\lambda_s = 1$？
• RQ4 能否为严格正特征函数 $v_s$ 的导数导出显式的先验界，以控制数值逼近误差？
• RQ5 离散逼近矩阵 $M_s$ 的谱半径 $r(M_s)$ 是否关于 $s$ 保持对数凸性，从而支持根求解算法的快速收敛？

主要发现

• 在一维 IFS 中，若 IFS 映射为 $C^3$ 且满足适当的压缩性与非零导数条件，则其不变集的 Hausdorff 维数 $s_*$ 等于唯一满足谱半径 $\lambda_s = 1$ 的 $s$ 值。
• 作用于 $C^k(\bar{H})$（$k \geq 2$）的 Perron-Frobenius 算子 $L_{s,k}$ 具有严格正特征函数 $v_s$，其特征值为 $\lambda_s = r(L_{s,k})$，且 $\lambda_s$ 与 $k$ 无关。
• 通过分段线性函数的配点法，可获得 $s_*$ 的严格上界与下界，且当网格尺寸趋于零时，这些界收敛于 $s_*$。
• 映射 $s \mapsto r(M_s)$（其中 $M_s$ 是 $L_s$ 的离散矩阵逼近）具有对数凸性，确保基于 secant 方法的根求解具有超线性收敛速度。
• 该方法适用于有限与无限 IFS，且在较弱的正则性假设下（包括 IFS 映射的 $C^3$ 正则性）保证收敛。
• 该方法避免了热力学形式化方法，且无需解析性要求，因此可应用于比以往方法更广泛的 IFS 类别。