[论文解读] C*-Multipliers, crossed product algebras, and canonical commutation relations

Jan Naudts|ArXiv.org|Jul 9, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文将群乘子的概念推广至取值于任意 C*-代数的 C*-乘子，并引入了群在连续紧支集 A-值函数空间上的投影作用。本文建立了 C*-乘子与这类投影作用之间的一一对应关系，统一了扭群代数与交叉积代数的构造。关键结果是交叉积代数的乘子代数包含满足相对于 C*-乘子的典范对易关系的 Weyl 算子，该结果应用于量子时空。

ABSTRACT

The notion of a multiplier of a group X is generalized to that of a C*-multiplier by allowing it to have values in an arbitrary C*-algebra A. On the other hand, the notion of the action of X in A is generalized to that of a projective action of X as linear transformations of the space of continuous functions with compact support in X and with values in A. It is shown that there exists a one-to-one correspondence between C*-multipliers and projective actions. C*-multipliers have been used to define twisted group algebras. On the other hand, the projective action tau can be used to construct the crossed product algebra A x_tau X. Both constructions are unified in the present approach. The results are applicable in mathematical physics. The multiplier algebra of the crossed product algebra A x_tau X contains Weyl operators {W(x),x in X}. They satisfy canonical commutation relations w.r.t. the C*-multiplier. Quantum spacetime is discussed as an example.

研究动机与目标

• 将群乘子的概念推广至取值于任意 C*-代数的 C*-乘子。
• 将群作用于 C*-代数的概念推广至取值于 C*-代数的函数空间上的投影作用。
• 在 C*-乘子与这类投影作用之间建立一一对应关系。
• 在单一框架内统一扭群代数与交叉积代数的构造。
• 展示该框架在量子物理中的适用性，特别是在非交换时空背景下通过 Weyl 算子实现典范对易关系。

提出的方法

• 将 C*-乘子定义为从群 X 到 C*-代数 A 的映射，推广标准乘子的概念。
• 将 X 的投影作用引入为在取值于 C*-代数 A 的连续紧支集函数空间上的线性变换族。
• 通过涉及上循环的构造，在 C*-乘子与投影作用之间建立双射对应关系。
• 利用投影作用定义交叉积代数 A ×_τ X，推广标准交叉积构造。
• 证明 A ×_τ X 的乘子代数包含一族满足相对于 C*-乘子的典范对易关系的 Weyl 算子 {W(x) | x ∈ X}。
• 通过在非交换时空背景下将 Weyl 算子实现为 CCR 的实现者，将该框架应用于量子时空。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将群乘子的经典概念推广至取值于任意 C*-代数的情形？
• RQ2 群作用于 C*-代数的概念应如何推广至取值于 C*-代数的函数空间上的作用？
• RQ3 C*-乘子与这类广义投影作用之间是否存在一一对应关系？
• RQ4 能否在该框架下统一扭群代数与交叉积代数的构造？
• RQ5 满足典范对易关系的 Weyl 算子如何从交叉积的乘子代数中涌现？

主要发现

• 在取值于 C*-代数 A 的连续紧支集函数空间上，建立了群 X 的 C*-乘子与投影作用之间的一一对应关系。
• 由投影作用 τ 构造的交叉积代数 A ×_τ X 具有乘子代数，其中包含一族 Weyl 算子 {W(x) | x ∈ X}。
• 这些 Weyl 算子相对于 C*-乘子满足典范对易关系，推广了量子力学中的标准 Weyl 关系。
• 该框架通过相同的底层结构，统一了扭群代数与交叉积代数的构造。
• 该构造被应用于量子时空，其中 C*-乘子编码了非交换时空对称性，而 Weyl 算子在该设定下实现了典范对易关系。
• 结果在 C*-代数理论的框架内正式陈述并证明，应用于数学物理，特别是在非交换空间上的量子场论代数表述中。