[论文解读] C-projective geometry

David M. J. Calderbank, Michael G. Eastwood+2 more|Dec 14, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 89被引用 7

一句话总结

本文將c-射影幾何發展為實射影微分幾何的複數類比，確立其為具有標準Cartan聯絡的拋物幾何。證明了完備凱勒流形上的Yano–Obata猜想：若此類流形容許一個非仿射的一參數c-射影變換群，則其必為複射影空間 $\mathbb{CP}^n$，配備Fubini–Study度量的倍數。

ABSTRACT

We develop in detail the theory of c-projective geometry, a natural analogue of projective differential geometry adapted to complex manifolds. We realise it as a type of parabolic geometry and describe the associated Cartan or tractor connection. A Kaehler manifold gives rise to a c-projective structure and this is one of the primary motivations for its study. The existence of two or more Kaehler metrics underlying a given c-projective structure has many ramifications, which we explore in depth. As a consequence of this analysis, we prove the Yano-Obata conjecture for complete Kaehler manifolds: if such a manifold admits a one parameter group of c-projective transformations that are not affine, then it is complex projective space, equipped with a multiple of the Fubini-Study metric.

研究动机与目标

• 發展c-射影幾何的全面統一理論，作為實射影微分幾何的複數類比。
• 建立c-射影幾何與凱勒流形之間的關係，特別是透過相容度量的存在性。
• 透過分析c-射影向量場及其可積性，解決完備凱勒流形上的Yano–Obata猜想。
• 透過c-射影等價度量與Hermitian Killing張量，探索在可積系統與凱勒幾何中的應用。
• 利用BGG算子與Jordan代數結構，將射影幾何的度量可實現理論推廣至c-射影及其他拋物幾何。

提出的方法

• 將c-射影幾何實現為以旗流形 $\mathbb{CP}^n \cong \mathrm{PSL}(n+1,\mathbb{C})/P$ 為模型的拋物幾何，類比於實射影幾何。
• 構造c-射影結構的標準Cartan聯絡，將射影Cartan聯絡推廣至複數設定。
• 定義c-射影度量可實現算子為作用於對稱共變張量的首階BGG算子，其核對應於相容的(偽-)凱勒度量。
• 利用c-射影結構與保持近乎複結構 $J$ 的複聯絡之間的等價性，其中可積性由Nijenhuis張量消失來確保。
• 應用tractor叢與曲率修正理論，將度量可實現方程的解與相關向量叢的平行截面聯繫起來。
• 採用錐構造與推廣的Feix–Kaledin方法，將c-射影結構與四元數幾何及共形幾何聯繫起來，揭示更深層的統一結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，複流形上的c-射影結構會容許相容的(偽-)凱勒度量？
• RQ2 凱勒流形上c-射影向量場空間的結構為何？它們在何時為本質的或非線性化的？
• RQ3 單一c-射影結構中存在兩個或更多凱勒度量，是否會導致基底流形上測地線流的可積性？
• RQ4 c-射影度量可實現算子與實射影度量可實現算子在多大程度上類似？它們的核維數有何比較？
• RQ5 c-射影結構如何透過Jordan代數嵌入與其他拋物幾何（如四元數或共形幾何）相關聯？

主要发现

• 證明了完備凱勒流形上的Yano–Obata猜想：任何容許非仿射一參數c-射影變換群的此類流形，必為複射影空間 $\mathbb{CP}^n$，配備Fubini–Study度量的倍數。
• c-射影度量可實現算子為作用於對稱共變張量的首階BGG算子，其解對應於相容的(偽-)凱勒度量。
• c-射影Hessian的核包含Killing向量場的哈密頓量，將c-射影幾何與極值凱勒度量及哈密頓2-形式聯繫起來。
• c-射影結構自然源自凱勒度量，單一c-射影類中存在多個凱勒度量，意味著測地線流存在非平凡積分。
• 透過Jordan代數嵌入，c-射影幾何理論與其他拋物幾何統一起來，c-射影幾何對應於 $\mathbb{C}^{n+1}$ 中的秩一赫米特矩陣，類比於實射影幾何中的Veronese嵌入。
• 錐構造與推廣的Feix–Kaledin方法將c-射影結構實現為射影Cartan聯絡的holonomy約化，使其與四元數幾何及Cayley平面相關聯。