[论文解读] C*-pseudo-multiplicative unitaries

Thomas Timmermann|ArXiv.org|Sep 19, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文引入了 $C^*$-伪乘法单位算子和霍普夫 $C^*$-双模，作为量子群论中冯诺依曼代数结构的 $C^*$-代数类比。研究证明，正则的 $C^*$-伪乘法单位算子可导出两个霍普夫 $C^*$-双模，并在局部紧群胚的背景下给出了显式实现：其一同构于 $C_0(G)$，其二同构于约化群胚 $C^*$-代数 $C^*_r(G)$，从而将巴杰与斯卡兰迪斯的构造推广至 $C^*$-框架。

ABSTRACT

We introduce $C^*$-pseudo-multiplicative unitaries and (concrete) Hopf $C^*$-bimodules, which are $C^*$-algebraic variants of the pseudo-multiplicative unitaries on Hilbert spaces and the Hopf-von Neumann-bimodules studied by Enock, Lesieur, Vallin. Moreover, we associate to every regular $C^*$-pseudo-multiplicative unitary two Hopf-$C^*$-bimodules and discuss examples related to locally compact groupoids.

研究动机与目标

• 为局部紧量子群胚建立 $C^*$-代数框架，推广恩洛克、莱西厄尔与瓦林的冯诺依曼代数理论。
• 将 $C^*$-伪乘法单位算子定义为希尔伯特空间上伪乘法单位算子的 $C^*$-类比。
• 从每个正则的 $C^*$-伪乘法单位算子构造两个霍普夫 $C^*$-双模，扩展巴杰与斯卡兰迪斯的构造。
• 证明与局部紧群胚相关的 $C^*$-伪乘法单位算子可实现对偶代数与约化群胚 $C^*$-代数的显式实现。

提出的方法

• 引入希尔伯特 $C^*$-模的 $C^*$-相对张量积，推广冯诺依曼情形下康奈斯的相对张量积。
• 利用 $C^*$-相对张量积定义 $C^*$-代数的几何纤维积，确保函子性并兼容冯诺依曼代数的纤维积。
• 将 $C^*$-伪乘法单位算子定义为满足类似冯诺依曼情形下双模相容条件的希尔伯特 $C^*$-模上的酉算子。
• 为 $C^*$-伪乘法单位算子引入正则性条件，确保所关联的代数与 $*$-同态构成霍普夫 $C^*$-双模。
• 从每个正则的 $C^*$-伪乘法单位算子构造两个霍普夫 $C^*$-双模：其一底代数为 $\widehat{A}(V) \cong C_0(G)$，其二为 $A(V) = C^*_r(G)$。
• 通过在群胚纤维上的 $L^2$-空间上使用积分核，显式计算共乘法，验证霍普夫 $C^*$-双模公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 伪乘法单位算子的概念如何从冯诺依曼代数框架适配至 $C^*$-代数？
• RQ2 何种条件可确保 $C^*$-伪乘法单位算子生成霍普夫 $C^*$-双模结构？
• RQ3 $C^*$-伪乘法单位算子如何与局部紧群胚及其相关 $C^*$-代数关联？
• RQ4 巴杰与斯卡兰迪斯的广义庞特里亚金对偶性构造能否通过此新框架推广至 $C^*$-代数？
• RQ5 由局部紧群胚的 $C^*$-伪乘法单位算子所生成的霍普夫 $C^*$-双模的精确结构为何？

主要发现

• 与局部紧群胚 $G$ 相关的 $C^*$-伪乘法单位算子是正则的，满足构造霍普夫 $C^*$-双模所必需的解析与代数条件。
• 对偶代数 $\widehat{A}(V)$ 同构于 $C_0(G)$，作为 $L^2(G, \nu)$ 上的乘法算子实现。
• 约化群胚 $C^*$-代数 $C^*_r(G)$ 实现为 $A(V)$，其共乘法由模函数 $D^{-1/2}$ 的积分给出。
• $\widehat{A}(V)$ 上的共乘法作用为 $\widehat{\Delta}(m(f))\zeta(x,y) = f(xy)\zeta(x,y)$，对应于对偶代数中的逐点乘法。
• $A(V)$ 上的共乘法由 $\Delta(L(g))\zeta(x,y) = \int_{G^{r_G(x)}} g(z) D^{-1/2}(z) \zeta(z^{-1}x, z^{-1}y) d\lambda^{r_G(x)}(z)$ 给出，反映了群胚卷积结构。
• 该构造给出了两个显式的霍普夫 $C^*$-双模：$({}_{\mathfrak{B}^\dagger}\mathfrak{H}_{\mathfrak{B}}, H, \widehat{A}(V), \widehat{\beta}, \alpha, \widehat{\Delta})$ 与 $({}_{\mathfrak{B}}\mathfrak{H}_{\mathfrak{B}^\dagger}, A(V), \alpha, \beta, \Delta)$，其作用与共乘法均明确给出。