[论文解读] C^r surface diffeomorphisms with no maximal entropy measure

Jérôme Buzzi|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文针对任意 $1 \leq r < \infty$，构造了在圆盘（因此也在任意流形上）上的 $C^r$ 曲面微分同胚，其具有有限正的拓扑熵，但不存在实现最大熵的不变测度。通过对方程 $C^\infty$ 微分同胚（其熵为零）进行扰动，作者构造出一个系统，使得任意非拟周期遍历测度的极大李雅普诺夫指数严格小于拓扑熵，从而违反了鲁埃不等式，并排除了最大熵测度的存在性。

ABSTRACT

For any $1\leq r

研究动机与目标

• 解决关于 $C^r$ 曲面微分同胚是否可能具有有限正拓扑熵却缺乏最大熵测度的开放问题，特别是在二维和三维情形。
• 将纽豪斯关于 $C^\infty$ 系统不存在最大熵测度的结果推广至所有有限 $r$ 的 $C^r$ 设置。
• 在圆盘上显式构造例子（因此在任意流形上也成立），方法是基于一个零熵的 $C^\infty$ 微分同胚进行扰动。
• 证明在变分原理中拓扑熵的上确界无法由任何不变测度实现，尽管该测度连续且熵有限。

提出的方法

• 在圆盘上构造一个 $C^\infty$ 微分同胚 $f_0$，其拓扑熵为零，作为扰动的基础。
• 通过 $f_0$ 的 $C^r$-小扰动构造一个新的微分同胚 $f$，其具有正的拓扑熵 $\frac{1}{r}\lambda(f_0)$。
• 精心设计扰动，使得任意非拟周期遍历测度 $\mu$ 的极大李雅普诺夫指数 $\lambda^u(f,\mu)$ 严格小于 $\frac{1}{r}\lambda(f_0)$。
• 利用鲁埃不等式 $h(f,\mu) \leq \lambda^u(f,\mu)^+$ 证明，任何此类 $\mu$ 都无法实现等于 $h_{\text{top}}(f)$ 的熵，从而排除了最大熵测度的存在性。
• 利用流盒构造和对过渡映射的估计，控制圆盘不同区域间导数和李雅普诺夫指数的增长。
• 在扰动系统中建立过渡时间与导数增长的统一有界性，确保李雅普诺夫指数始终严格低于拓扑熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 $1 \leq r < \infty$，是否存在一个 $C^r$ 曲面微分同胚，其具有有限正拓扑熵，却不存在任何最大熵的不变测度？
• RQ2 纽豪斯关于 $C^\infty$ 系统不存在最大熵测度的结论在有限 $r$ 的 $C^r$ 正则性下是否仍保持最优性？
• RQ3 在低维情形（特别是二维）中，即使存在熵任意接近拓扑熵的测度，最大熵测度的缺失是否依然成立？
• RQ4 能否构造一个 $C^r$ 微分同胚，使得所有非拟周期遍历测度的极大李雅普诺夫指数严格小于拓扑熵？
• RQ5 动力系统在何种结构条件下会阻止变分原理中拓扑熵上确界的实现？

主要发现

• 对于任意 $1 \leq r < \infty$，存在一个在圆盘上的 $C^r$ 微分同胚，其具有正的有限拓扑熵 $h_{\text{top}}(f) = \frac{1}{r}\lambda(f_0) > 0$。
• 不存在任何不变概率测度 $\mu$ 使得其熵等于 $h_{\text{top}}(f)$，因为对所有非拟周期遍历测度 $\mu$，均有 $\lambda^u(f,\mu) < \lambda^u(\mathcal{P}'(f)) = \frac{1}{r}\lambda(f_0)$。
• 该构造确保拓扑熵严格小于任意非拟周期遍历测度的极大李雅普诺夫指数，从而以严格不等式违反了鲁埃不等式。
• 该结果在任意维度至少为2的流形上成立，因为圆盘上的构造可通过嵌入推广至任意流形。
• 该例子在 $C^r$ 拓扑下具有鲁棒性：对基底 $C^\infty$ 微分同胚 $f_0$ 的任意邻域 $\mathcal{U}_0$，均存在一个扰动 $f \in \mathcal{U}_0$，其具有相同的不存在最大熵测度的性质。
• 其关键机制在于李雅普诺夫指数相对于拓扑熵的严格次优性，尽管变分原理保证了熵的逼近，但任何测度都无法实现最大熵。