[论文解读] $C^α$ regularity of weak solutions of non-homogenous ultraparabolic equations with drift terms

Wendong Wang, Liqun Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用 6

一句话总结

该论文通过引入针对非负次解的新颖弱Poincaré不等式并应用Moser迭代法，建立了带漂移项和低阶项的非齐次超抛物方程弱解的$C^\alpha$正则性。关键结果将经典的Hölder正则性理论扩展至具有可测系数和可积低阶项的一类更广泛的退化抛物方程。

ABSTRACT

Consider a class of non-homogenous ultraparabolic differential equations with drift terms or lower order terms arising from some physical models, and we prove that weak solutions are Hölder continuous, which also generalizes the classic results of parabolic equations of second order. The main ingredients are a type of weak Poincaré inequality satisfied by non-negative weak sub-solutions and Moser iteration.

研究动机与目标

• 建立带漂移项和低阶项的非齐次超抛物方程弱解的Hölder正则性（$C^\alpha$）。
• 将De Giorgi-Nash-Moser理论推广至具有可测系数和可积低阶项（$c(x,t) \in L^q$，$f(x,t) \in L^q$，且$q > \frac{Q+2}{2}$）的方程。
• 克服低阶项破坏对数辅助函数使用时Moser迭代法应用的困难。
• 将先前关于齐次和Hörmander型超椭圆方程的结果推广至具一般漂移和低阶项的非齐次情形。
• 在超抛物算子背景下，为非负弱次解证明一种新型弱Poincaré不等式。

提出的方法

• 引入改进的G-函数，以构造适用于水平集分析的合适辅助函数。
• 为非负弱次解建立一种弱Poincaré型不等式，通过$L^2$范数控制$L^\infty$范数。
• 通过使用改进的测试函数$w = G(\frac{u}{h} + h^{1/8})$，将Moser迭代法应用于局部$L^\infty$范数估计。
• 利用Kruzhkov的水平集方法控制振幅，并通过振幅的迭代衰减推导Hölder连续性。
• 通过矩阵结构$B$利用Hörmander的超椭圆性条件，确保算子的退化抛物性质。
• 基于齐次维数$Q$和关键可积性条件$q > \frac{Q+2}{2}$，采用尺度变换论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 Moser迭代法能否推广至具有低阶项的非齐次超抛物方程？
• RQ2 对于带漂移和低阶项的超抛物方程，非负弱次解是否满足弱Poincaré不等式？
• RQ3 对$c(x,t)$和$f(x,t)$的何种可积性条件足以保证弱解的$C^\alpha$正则性？
• RQ4 当低阶项导致对数辅助函数失效时，Moser迭代法能否被调整？
• RQ5 漂移矩阵$B$的结构及算子的退化性如何影响解的正则性？

主要发现

• 在假设$c, f \in L^q$且$q > \frac{Q+2}{2}$，$b' \in L^{Q+2}$下，非齐次超抛物方程$Lu = f$的弱解具有Hölder连续性（$C^\alpha$）。
• 为非负弱次解建立了一种新型弱Poincaré不等式，这对于通过较低阶$L^p$范数控制$L^\infty$范数至关重要。
• 通过精心构造的G-函数和水平集分析，成功地将Moser迭代过程推广至具有低阶项的非齐次情形。
• 解的振幅在更小的柱体内迭代衰减，通过标准迭代论证导出$C^\alpha$正则性。
• 该结果将经典二阶抛物方程的$C^\alpha$正则性结果推广至退化、非齐次的超抛物设定。
• 证明依赖于涉及齐次维数$Q$的关键尺度变换论证，其中条件$q > \frac{Q+2}{2}$确保了Poincaré型不等式成立。