[论文解读] C-system of a module over a monad on sets

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文从集合上的单子及其上的左模构造了一个C-系统（上下文范畴），为依赖类型理论提供了通用的范畴论框架。通过直接从单子和模导出的结构，刻画了该C-系统的子商结构，并将该构造应用于名义签名，通过判断式的α-等价类恢复了广义代数类型理论和马丁-洛夫类型理论的C-系统。

ABSTRACT

This is the second paper in a series that aims to provide mathematical descriptions of objects and constructions related to the first few steps of the semantical theory of dependent type systems. We construct for any pair $(R,LM)$, where $R$ is a monad on sets and $LM$ is a left module over $R$, a C-system (contextual category) $CC(R,LM)$ and describe a class of sub-quotients of $CC(R,LM)$ in terms of objects directly constructed from $R$ and $LM$. In the special case of the monads of expressions associated with nominal signatures this construction gives the C-systems of general dependent type theories when they are specified by collections of judgements of the four standard kinds.

研究动机与目标

• 为从集合上的单子及其上的左模构造C-系统提供一个通用的范畴论方法。
• 通过直接来自单子和模的数据，刻画所构造的C-系统的全部C-子系统和正规商。
• 将该构造应用于由名义签名产生的语形对，恢复依赖类型理论的C-系统。
• 使用单子和模的框架形式化马丁-洛夫类型判断（例如，上下文形成、类型形成）的语义。
• 证明依赖类型理论中的四种标准判断形式（上下文、类型、类型相等、项相等）在所构造的C-系统中精确对应于正规同余关系和子-C-系统。

提出的方法

• 从集合上的单子R和取值于集合的R-左模LM构造C-系统CC(R, LM)。
• 利用[15]的结果，通过直接从R和LM导出的结构，描述CC(R, LM)的所有C-子系统和正规商。
• 在CC(R, LM)上定义操作σ和eσ，并研究与这些操作相容的正规同余关系。
• 将该框架应用于名义签名，其中R(X)和LM(X)分别是自由变量在X中的表达式的α-等价类的集合。
• 将依赖类型理论中的四种标准判断形式（上下文、类型、类型相等、项相等）与C-系统的子集C、eC、Ceq、gCeq对应起来。
• 证明任何具有正规同余关系的子-C-系统均能导出此类四元组子集，反之亦然。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从集合上的单子及其上的左模构造C-系统？
• RQ2 如何用单子和模来完全刻画此类C-系统的全部C-子系统和正规商？
• RQ3 依赖类型理论中的四种标准判断形式（上下文、类型、类型相等、项相等）如何从所构造C-系统的范畴结构中导出？
• RQ4 广义代数类型理论和马丁-洛夫类型理论的C-系统能否作为该构造的特例被恢复？
• RQ5 α-等价性和名义签名在依赖类型系统的范畴语义中起什么作用？

主要发现

• 该构造CC(R, LM)对任意集合上的单子R和R-左模LM均生成一个C-系统，为类型论语义提供了通用框架。
• CC(R, LM)的所有C-子系统和正规商均由直接关联于R和LM的数据完全刻画，其工具来自[15]。
• 当R和LM由名义签名导出时，依赖类型理论中的四种标准判断形式与CC(R, LM)的特定子集C、eC、Ceq、gCeq之间存在一一对应关系。
• 对于λ-演算签名，该构造恢复了带有λ-项α-等价类的纯类型理论的C-系统。
• 该框架表明，从类型化的λ-演算编码中无法恢复完整的代换单子结构，从而为具有绑定语法的语法使用单子和模提供了合理性。
• 该构造将已知的广义代数理论和马丁-洛夫类型论的C-系统作为特例统一在单一范畴论框架之下。