[论文解读] ${\cal H}$-cohomologies versus algebraic cycles

Luca Barbieri-Viale|ArXiv.org|Aug 8, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文引入 ${\cal H}$-上同调作为光滑代数簇的广义上同调理论，通过庞加莱对偶性和上积结构统一了经典交截环。它建立了如吉辛映射、射影丛定理和爆破公式等基础性质，同时从 Quillen K-理论构造了到 ${\cal H}$-上同调的陈类，扩展了 Grothendieck 和 Gillet 的框架。

ABSTRACT

Global intersection theories for smooth algebraic varieties via products in {\it appropriate}\, Poincaré duality theories are obtained. We assume given a (twisted) cohomology theory $H^*$ having a cup product structure and we let consider the ${\cal H}$-cohomology functor $X\leadsto H^{\#}_{Zar}(X,{\cal H}^*)$ where ${\cal H}^*$ is the Zariski sheaf associated to $H^*$. We show that the ${\cal H}$-cohomology rings generalize the classical ``intersection rings'' obtained via rational or algebraic equivalences. Several basic properties e.g.\, Gysin maps, projection formula and projective bundle decomposition, of ${\cal H}$-cohomology are obtained. We therefore obtain, for $X$ smooth, Chern classes $c_{p,i} : K_i(X) o H^{p-i}(X,{\cal H}^p)$ from the Quillen $K$-theory to ${\cal H}$-cohomologies according with Gillet and Grothendieck. We finally obtain the ``blow-up formula'' $$H^p(X',{\cal H}^q) \cong H^p(X,{\cal H}^q)\oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z,{\cal H}^{q-1-i})$$ where $X'$ is the blow-up of $X$ smooth, along a closed smooth subset $Z$ of pure codimension $c$. Singular cohomology of associated analityc space, étale cohomology, de Rham and Deligne-Beilinson cohomologies are examples for this setting.

研究动机与目标

• 通过具有上积结构的上同调理论，推广基于有理等价或代数等价定义的经典交截环。
• 发展一个统一的 ${\cal H}$-上同调框架，扩展庞加莱对偶性，并支持标准运算如吉辛映射和射影丛分解。
• 从 Quillen K-理论到 ${\cal H}$-上同调构造陈类，与 Grothendieck 和 Gillet 的预期保持一致。
• 推导出以异常除子及其扭化形式表示的 ${\cal H}$-上同调的精确爆破公式。
• 证明标准上同调理论——奇异上同调、\'etale 上同调、德拉姆上同调、Deligne-Beilinson 上同调——自然地嵌入该框架之中。

提出的方法

• 将 ${\cal H}$-上同调定义为 Zariski 层上同调 $H^\#_{\text{Zar}}(X, {\cal H}^*)$，其中 ${\cal H}^*$ 是给定上同调理论 $H^*$ 的层化。
• 利用 $H^*$ 上的上积结构，为 ${\cal H}$-上同调赋予环结构，推广经典交截环。
• 通过光滑态射背景下庞加莱对偶性和相对对偶性的形式化，建立吉辛映射与投影公式。
• 通过将代数拓扑中的标准论证适配到代数设定，证明 ${\cal H}$-上同调的射影丛分解定理。
• 通过切除与局部化技术，推导出爆破公式 $H^p(X', {\cal H}^q) \cong H^p(X, {\cal H}^q) \oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z, {\cal H}^{q-1-i})$。
• 利用 K-理论的普遍性质和 ${\cal H}$-上同调中的陈特征，构造从 $K_i(X)$ 到 $H^{p-i}(X, {\cal H}^p)$ 的陈类 $c_{p,i}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用具有上积结构的上同调理论，推广基于有理等价或代数等价定义的经典交截环？
• RQ2 哪些结构性质——如吉辛映射和射影丛定理——可被推广至 ${\cal H}$-上同调？
• RQ3 能否推导出一个反映异常除子及其余维数几何的 ${\cal H}$-上同调爆破公式？
• RQ4 从 Quillen K-理论到 ${\cal H}$-上同调的陈类如何嵌入？它们是否满足预期性质？
• RQ5 哪些标准上同调理论（如德拉姆、\'etale、奇异）满足定义 ${\cal H}$-上同调所需的公理？

主要发现

• ${\cal H}$-上同调环推广了通过有理等价或代数等价获得的经典交截环，提供了一个统一的上同调框架。
• 对于沿余维数为 $c$ 的光滑中心的光滑爆破，建立了爆破公式 $H^p(X', {\cal H}^q) \cong H^p(X, {\cal H}^q) \oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z, {\cal H}^{q-1-i})$。
• 为 ${\cal H}$-上同调构造了吉辛映射与投影公式，将代数拓扑中的标准工具扩展到此上同调设定。
• 射影丛分解定理对 ${\cal H}$-上同调成立，意味着射影丛的上同调可分解为基空间上的直和。
• 从 Quillen K-理论到 ${\cal H}$-上同调的陈类 $c_{p,i} : K_i(X) \to H^{p-i}(X, {\cal H}^p)$ 已构造完成，与 Grothendieck–Gillet 框架相容。
• 关联解析空间的奇异上同调、\'etale 上同调、德拉姆上同调以及 Deligne–Beilinson 上同调均满足定义 ${\cal H}$-上同调所需的公理，显示出其广泛适用性。