[论文解读] Calabi quasimorphism and quantum homology

Michael Entov, Leonid Polterovich|ArXiv.org|May 23, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 41

一句话总结

本文在某些具有半单量子同调的单调辛流形的哈密顿微分同胚群的万有覆叠上，构造了一个非平凡的齐次拟同态，将卡拉比同态扩展为全局拟同态。该构造利用了滤子弗洛尔同调与量子同调中的谱不变量，证明该拟同态在位移开集上具有紧支集的哈密顿算子下与卡拉比不变量一致。

ABSTRACT

We prove that the group of area-preserving diffeomorphisms of the 2-sphere admits a non-trivial homogeneous quasimorphism to the real numbers with the following property. Its value on any diffeomorphism supported in a sufficiently small open subset of the sphere equals to the Calabi invariant of the diffeomorphism. This result extends to more general symplectic manifolds: If the symplectic manifold is monotone and its quantum homology algebra is semi-simple we construct a similar quasimorphism on the universal cover of the group of Hamiltonian diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 将仅定义在紧支集哈密顿微分同胚上的卡拉比同态扩展为哈密顿微分同胚群全集上的全局拟同态。
• 在具有半单量子同调的单调辛流形的哈密顿群万有覆叠上，建立非平凡齐次拟同态的存在性。
• 证明此类拟同态在位移的恰当开集上支持的微分同胚下与卡拉比不变量一致。
• 将该拟同态应用于辛拓扑中的问题，包括换位子范数与碎片化性质。
• 通过辛嵌入在开曲面（如圆盘与环面）上构造一维连续统的线性无关卡拉比拟同态族。

提出的方法

• 利用滤子弗洛尔同调定义谱不变量，并通过庞加莱对偶性将其与量子同调代数联系起来。
• 利用谱不变量在哈密顿群的万有覆叠 $ \widetilde{G} $ 上定义拟同态 $ r $，并借助连续性与有限性性质。
• 应用非阿基米德几何引理以控制拟同态条件中的误差，并证明其齐次性。
• 通过齐次化从 $ r $ 构造卡拉比拟同态 $ \tilde{\mu} $，确保其在小支集上与卡拉比不变量一致。
• 利用在 $ S^2 $ 上的哈密顿纤维丛上的西德尔作用，计算 $ \pi_1(G) $ 中元素的拟同态，将其与格罗莫夫-威滕不变量联系起来。
• 将开曲面（圆盘与环面）嵌入 $ S^2 $，并拉回拟同态，构造以 $ \epsilon $ 为参数的线性无关拟同态族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将紧支集哈密顿微分同胚上的卡拉比同态扩展为哈密顿群全集上的全局拟同态？
• RQ2 在何种条件下，对于辛流形 $ M $，其万有覆叠 $ \widetilde{\mathrm{Ham}}(M) $ 上存在非平凡齐次拟同态，且在小支集上限制为卡拉比不变量？
• RQ3 滤子弗洛尔同调中的谱不变量与卡拉比不变量之间存在何种关系？
• RQ4 如何在开辛曲面（如曲面）上构造一维连续统的线性无关卡拉比拟同态？
• RQ5 量子同调代数的半单性在该类拟同态的存在性中起何种作用？

主要发现

• 在 $ \widetilde{\mathrm{Ham}}(S^2) $ 上构造了一个非平凡齐次拟同态 $ \tilde{\mu} $，其在任意位移开集上支集的微分同胚下等于卡拉比不变量。
• 对于 $ M = S^2 $、$ S^2 \times S^2 $、$ \mathbb{C}P^2 $ 及其一点的 blown-up，若量子同调代数为半单，则此类卡拉比拟同态存在。
• 拟同态 $ \tilde{\mu} $ 关于哈密顿微分同胚的 $ C^0 $-拓扑是连续的。
• 在 2-球面上，自治哈密顿 $ F $ 的拟同态为 $ \mu(\psi_F) = -\bar{F}(x_0) $，其中 $ x_0 $ 为 $ F $ 的测度雷布树的中位点。
• 对于环面与圆盘，通过将其辛嵌入 $ S^2 $，构造了一族以 $ \epsilon $ 为参数的线性无关卡拉比拟同态。
• 在环面上，拟同态 $ \mu_{\epsilon} $ 满足 $ \mu_{\epsilon}(\psi_H) = \mathrm{Cal}_M(\psi_H) - H(\epsilon) $；在圆盘上，$ \mu_{\epsilon}(\psi_H) = \mathrm{Cal}_M(\psi_H) - \epsilon^{-1} H(\epsilon^{-1}/2) $，从而证明了线性无关性。