[论文解读] Calcul d'une valeur d'un facteur epsilon par une formule intégrale

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文建立了一种积分公式，用于计算在 $p$-进域 $F$ 上，$GL_d(F)$ 与 $GL_m(F)$ 的一对温和自对偶表示的 $\varepsilon$-因子，采用几何与谱迹公式技术。关键结果证明了非连通群 $G \rtimes \{1, \theta_d\}$ 的扭迹公式的几何侧与谱侧相等，从而通过内播转移验证了温和表示的局部 Gross-Prasad 猜想。

ABSTRACT

Let d and m be two natural numbers of distinct parities. Let $π$ be an admissible irreducible tempered representation of GL(d,F), where F is a p-adic field. We assume that $π$ is self-dual. Then we can extend $π$ as a representation $ ildeπ$ of a non-connected group $GL(d,F) times \{1,θ\}$. Let $ρ$ be a representation of GL(m,F). We assume that it has similar properties as $π$. Jacquet, Piatetski-Shapiro and Shalika have defined the factor $ε(s,π imesρ,ψ)$. We prove that we can compute $ε(1/2,π imesρ,ψ)$ by an integral formula where occur the characters of $ ildeπ$ and $ ildeρ$. It's similar to the formula which, for special orthogonal groups, computes the multiplicities appearing in the local Gross-Prasad conjecture.

研究动机与目标

• 建立与 $GL_d(F)$ 和 $GL_m(F)$ 的一对温和自对偶表示 $\tilde{\pi}$, $\tilde{\rho}$ 相关的 $\varepsilon$-因子 $\varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi},\tilde{\rho})$ 的积分公式。
• 通过证明扭迹公式的几何侧与谱侧相等，验证温和表示的局部 Gross-Prasad 猜想。
• 将先前关于重数一性定理与扭内播转移的结果，推广至自对偶温和表示的情形。
• 提供一个与内播转移和 Whittaker 模型理论相容的 $\varepsilon$-因子公式。

提出的方法

• 本文使用非连通群 $\tilde{G} = G \rtimes \{1, \theta_d\}$ 的扭迹公式，其中 $G = GL_d(F)$ 且 $\theta_d(g) = J_d {}^t g^{-1} J_d^{-1}$。
• 对 $\tilde{G}$ 的每个椭圆共轭类 $\mathcal{O}$，定义其几何侧 $I_{\text{geom}}(\tilde{G}, \mathcal{O})$ 与谱侧 $I_{\text{spec}}(\tilde{G}, \mathcal{O})$。
• 谱侧表示为从 Levi 子群诱导的特征之和，涉及 Whittaker 模型与表示的中心特征。
• 几何侧通过轨道积分与特征分布计算，利用特征 $\Theta_{\mathcal{O}}$ 按 $\zeta \in \mathcal{A}_{\tilde{L},F}$ 索引的分量分解。
• 关键步骤在于：积分的唯一非零贡献来自 $\zeta = 0$，从而将问题约化为低秩情形。
• 证明通过在秩上进行归纳，利用 $\varepsilon$-因子在 Weyl 群作用下的不变性，以及迹公式与内播转移的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过积分公式计算 $GL_d(F)$ 与 $GL_m(F)$ 的温和自对偶表示的 $\varepsilon$-因子 $\varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho})$？
• RQ2 扭迹公式的几何侧与谱侧相等是否意味着温和表示的局部 Gross-Prasad 猜想成立？
• RQ3 在扭群的背景下，表示的内播转移如何与 $\varepsilon$-因子相关联？
• RQ4 非连通群 $\tilde{G} = G \rtimes \{1, \theta_d\}$ 在通过迹公式计算 $\varepsilon$-因子的过程中起什么作用？

主要发现

• 对于非连通群 $\tilde{G} = G \rtimes \{1, \theta_d\}$，扭迹公式的几何侧与谱侧相等：对所有椭圆共轭类 $\mathcal{O}$，有 $I_{\text{geom}}(\tilde{G}, \mathcal{O}) = I_{\text{spec}}(\tilde{G}, \mathcal{O})$。
• $\varepsilon$-因子 $\varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho})$ 被计算为对扭共轭类的求和，唯一非零贡献来自平凡分量 $\zeta = 0$。
• 证明确立了 $\varepsilon_{\text{geom},\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho}) = \varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho})$，从而确认了 $\varepsilon$-因子的猜想公式。
• 该结果通过内播转移至线性群，意味着温和自对偶表示的局部 Gross-Prasad 猜想成立。
• 该公式与 Whittaker 模型和中心特征相容，且 $\varepsilon$-因子被证明是单位根，不一定是 $\pm 1$。