[论文解读] Calculating Ramsey numbers by partitioning coloured graphs

Alexey Pokrovskiy|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对2-边染色完全图的新划分定理，证明了顶点可被k条不相交的红色路径和一个蓝色平衡完全(k+1)-部图覆盖。利用该结果，作者确定了路径与平衡完全k-部图之间的精确Ramsey数，以及路径与路径的k次幂之间的精确Ramsey数，从而解决了Allen、Brightwell与Skokan提出的一个猜想。

ABSTRACT

In this paper we prove a new result about partitioning coloured complete graphs and use it to determine certain Ramsey numbers exactly. The partitioning theorem we prove is that for k at least 1, in every edge colouring of a complete graph with the colours red and blue, it is possible to cover all the vertices with k disjoint red paths and a disjoint blue balanced complete (k+1)-partite graph. When the colouring is connected in red, we prove a stronger result - that it is possible to cover all the vertices with k red paths and a blue balanced complete (k+2)-partite graph. Using these results we determine the Ramsey number of a path on n vertices, versus a balanced complete k-partite graph, with m vertices in each part, whenever m-1 is divisible by n-1. This generalizes a result of Erdos who proved the m=1 case of this result. We also determine the Ramsey number of a path on n vertices versus the power of a path on n vertices. This solves a conjecture of Allen, Brightwell, and Skokan.

研究动机与目标

• 开发一种针对2-边染色完全图的新结构划分定理，以实现Ramsey数的精确计算。
• 通过结构划分技术解决Allen、Brightwell与Skokan关于路径与路径的k次幂的Ramsey数的猜想。
• 将Erdős关于路径Ramsey数的结果推广到平衡完全多部图的情形。
• 将单色路径与子图覆盖技术的适用范围扩展到更复杂的图族。

提出的方法

• 证明在任意$K_n$的2-着色中，顶点可被k条不相交的红色路径和一个蓝色平衡完全(k+1)-部图覆盖。
• 当红色图连通时，建立更强的结果：顶点可被k条红色路径和一个蓝色平衡完全(k+2)-部图覆盖。
• 利用划分定理，通过构造极值着色，推导出Ramsey数的紧致上下界。
• 将结果应用于计算当$m \equiv 1 \pmod{n-1}$时$R(P_n, K_m^t)$的精确Ramsey数，得出$R(P_n, K_m^t) = (t-1)(n-1) + t(m-1) + 1$。
• 证明$R(P_n, P_n^t) = t(n-1) + \left\lfloor \frac{n}{t+1} \right\rfloor$，从而证实Allen、Brightwell与Skokan的猜想。
• 利用路径与完全多部图的结构特性，通过极值构造证明所推导的界是紧致的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$m \equiv 1 \pmod{n-1}$时，精确Ramsey数$R(P_n, K_m^t)$是多少？
• RQ2 能否通过结构划分技术证明Allen、Brightwell与Skokan关于$R(P_n, P_n^t)$的猜想？
• RQ3 在2-着色完全图中，单色子图的结构如何约束路径类图的Ramsey数？
• RQ4 涉及路径与完全多部图的划分定理在多大程度上可推广到其他图族？
• RQ5 对于所有满足$|G| \geq \chi(H)|H|$的连通图$G$与图$H$，不等式$R(G,H) \geq (\chi(H)-1)(|G|-1) + \sigma(H)$是否恒取等号？

主要发现

• 当$m \equiv 1 \pmod{n-1}$时，Ramsey数$R(P_n, K_m^t)$精确为$(t-1)(n-1) + t(m-1) + 1$，该结果推广了Erdős在$m=1$时的结果。
• Ramsey数$R(P_n, P_n^t) = t(n-1) + \left\lfloor \frac{n}{t+1} \right\rfloor$，证实了Allen、Brightwell与Skokan的猜想。
• 提出了一种新的划分定理：在任意$K_n$的2-着色中，顶点集可被$k$条不相交的红色路径和一个蓝色平衡完全$(k+1)$-部图覆盖。
• 当红色图连通时，顶点集可被$k$条红色路径和一个蓝色平衡完全$(k+2)$-部图覆盖，从而强化了划分结果。
• 用于证明$R(P_n, K_m^t)$下界的极值构造与由划分定理导出的上界完全一致，从而证明了界的紧致性。
• 结果表明，对于$G = P_n$与$H = P_n^t$，不等式$R(G,H) \geq (\chi(H)-1)(|G|-1) + \sigma(H)$是紧致的，支持了关于等号成立条件的更广泛猜想。