[论文解读] Calculating Shadows with U-Nets for Urban Environments (Short Paper)

Luciano da Fontoura Costa, Welscher, Franz+6 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2021

Computational Drug Discovery Methods被引用 102

一句话总结

本文提出了Jaccard指数的新型推广，以增强在集合、连续区域、密度和标量场等不同数学结构之间的相似性度量。引入了结合Jaccard指数与内部性指数的共现指数，以实现更严格的相似性评估，并将该指数扩展至多重集、函数及多变量依赖关系，应用于建模、模式识别和网络分析。

ABSTRACT

Quantifying the similarity between two mathematical structures or datasets constitutes a particularly interesting and useful operation in several theoretical and applied problems. Aimed at this specific objective, the Jaccard index has been extensively used in the most diverse types of problems, also motivating some respective generalizations. The present work addresses further generalizations of this index, including its modification into a coincidence index capable of accounting also for the level of relative interiority between the two compared entities, as well as respective extensions for sets in continuous vector spaces, the generalization to multiset addition, densities and generic scalar fields, as well as a means to quantify the joint interdependence between two random variables. The also interesting possibility to take into account more than two sets has also been addressed, including the description of an index capable of quantifying the level of chaining between three structures. Several of the described and suggested eneralizations have been illustrated with respect to numeric case examples. It is also posited that these indices can play an important role while analyzing and integrating datasets in modeling approaches and pattern recognition activities, including as a measurement of clusters similarity or separation and as a resource for representing and analyzing complex networks.

研究动机与目标

• 解决标准Jaccard指数在捕捉一个集合相对于另一个集合的包含程度方面的局限性。
• 通过面积和积分公式，将Jaccard指数推广至连续集合、密度和标量场。
• 将Jaccard指数推广至多重集操作及具有正负值的函数。
• 探讨相似性指数与随机变量联合依赖性之间的关系。
• 提出一种三重集合链式指数，以量化多个实体之间的结构性关系。

提出的方法

• 引入内部性指数（重叠指数）以量化集合包含关系，并通过平方根将该指数与Jaccard指数结合，形成共现指数。
• 通过以区域面积替代集合基数，将Jaccard指数适配至连续集合，从而适用于几何与空间数据。
• 利用连续域上最小值（交集）与最大值（并集）运算的积分，将指数扩展至多重集和实值函数。
• 将广义Jaccard指数与共现指数应用于比较概率密度函数、正弦函数及真实世界图像。
• 通过将一个集合作为桥梁，提出三重集合的链式指数：计算中间集合与另外两个集合交集的并集之间的Jaccard相似度，并引入修正因子。
• 通过散点图可视化Jaccard指数、内部性指数与共现指数相对于恒等线的行为特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何改进Jaccard指数，使其不仅能反映重叠程度，还能体现一个集合相对于另一个集合的相对内部性？
• RQ2 Jaccard指数能否推广至连续集合和标量场（如概率密度和图像灰度）？
• RQ3 Jaccard指数与共现指数在多大程度上可用于量化两个随机变量之间的联合依赖性？
• RQ4 相似性指数如何扩展以处理多于两个集合的情况，特别是从结构链式角度？
• RQ5 在数据建模与模式识别中，使用共现指数相较于标准Jaccard指数在计算与概念层面具有哪些优势？

主要发现

• 共现指数（定义为Jaccard指数与内部性指数乘积的平方根）相较于仅使用Jaccard指数，提供了更严格且更具选择性的相似性度量。
• 对于连续集合，以区域面积替代集合基数，可直接应用Jaccard指数与共现指数，从而实现对几何与空间上下文下相似性的量化。
• 针对多重集与标量场的广义Jaccard指数，采用连续域上最小值与最大值运算的积分形式，使正弦函数与真实世界图像等函数的比较成为可能。
• 共现指数成功应用于比较非归一化、带符号的函数（如余弦与正弦函数），证明其在非负数据之外仍具有鲁棒性。
• 三重集合的链式指数定义为J(B, (A∩B) ∪(B∩C)) × (1 − J(A,C))，在特定示例中得到6/7的值，表明A、B、C之间存在强结构关联。
• 本文证明，Jaccard指数与共现指数等相似性指标可用于量化随机变量之间的联合变化，为某些场景下提供了皮尔逊相关系数的替代方法。