[论文解读] Calculating the algebraic entropy of mappings with unconfined singularities

A. Ramani, B. Grammaticos+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了一种通过奇异模式的有限递推关系并将其扩展为无穷级数，利用特征方程的最大根来计算具有未束缚奇点的有理映射的代数熵（通过动力学度）的方法。该方法使用这些级数的特征方程的最大根来确定动力学度，成功地为可线性化映射得到零熵，并确认了非可积情况下的非可积性。

ABSTRACT

We present a method for calculating the dynamical degree of a mapping with unconfined singularities. It is based on a method introduced by Halburd for the computation of the growth of the iterates of a rational mapping with confined singularities. In particular, we show through several examples how simple calculations, based on the singularity patterns of the mapping, allow one to obtain the exact value of the dynamical degree for nonintegrable mappings that do not possess the singularity confinement property. We also study linearisable mappings with unconfined singularities to show that in this case our method indeed yields zero algebraic entropy.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于计算缺乏奇点束缚性质的有理映射的代数熵。
• 将哈伯德原始针对束缚奇点的方法扩展至具有未束缚奇点的映射。
• 证明可从由未束缚奇点模式导出的无穷级数中提取动力学度。
• 在具有未束缚奇点的非可积映射和可线性化映射上验证该方法。
• 在无需完整代数几何分析的情况下，建立奇点结构与代数熵之间的联系。

提出的方法

• 该方法基于映射下通用值的前像数量，利用奇点模式结构构造有限递推关系。
• 通过假设特征方程的最大根大于1，将这些递推关系扩展为无穷级数，从而实现重求和。
• 将动力学度识别为由无穷级数导出的特征方程的最大根。
• 对于可线性化映射，若假设最大根大于1，则该方法将导致矛盾，从而证明动力学度必须为1。
• 该方法适用于正向和反向迭代模式，尤其分析了反向束缚奇点。
• 通过分析值0和∞的前像数量增长，推导出度增长的递推关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无需完整代数几何分析的情况下，计算具有未束缚奇点的映射的代数熵？
• RQ2 仅凭奇点模式结构是否足以在非束缚情况下确定动力学度？
• RQ3 该方法能否区分具有未束缚奇点的可积（零熵）与非可积（正熵）映射？
• RQ4 反向束缚模式的增长如何与映射的真实度增长相关？
• RQ5 该方法是否足够稳健，能为通常具有未束缚奇点的可线性化映射提供正确结果？

主要发现

• 该方法通过分析由奇点模式导出的无穷级数的特征方程，成功计算出具有未束缚奇点的非可积映射的精确动力学度。
• 对于反向束缚奇点，该模式的增长可精确匹配完整度增长，而正向映射中仅能提供下界。
• 该方法通过证明假设动力学度大于1将导致矛盾，正确识别出可线性化映射的代数熵为零。
• 在所研究的实例中，动力学度被发现为特征方程 λ² − qλ − 1 = 0 的最大根，其中 q 与奇点模式系数相关。
• 该方法证实，只要度增长保持亚指数增长，未束缚奇点并不会排除可积性。
• 该方法提供了一种实用的替代方案，仅通过奇点模式分析即可获得精确结果，而无需完整代数几何分析。