[论文解读] Calculation of quantum discord for qubit-qudit or N qubits

Sai Vinjanampathy, A. Rau|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用 52

一句话总结

本文提出了用于计算量子失谐的解析公式，适用于具有扩展X态结构的量子比特-量子位系统及N量子比特系统，通过将优化限制在最多两个参数内，实现了高效计算。推导了量子失谐的熵量度与几何度量，后者被推广至任意d维系统，为一大类物理上相关的状态提供了闭式解。

ABSTRACT

Quantum discord, a kind of quantum correlation, is defined as the difference between quantum mutual information and classical correlation in a bipartite system. It has been discussed so far for small systems with only a few independent parameters. We extend here to a much broader class of states when the second party is of arbitrary dimension d, so long as the first, measured, party is a qubit. We present two formulae to calculate quantum discord, the first relating to the original entropic definition and the second to a recently proposed geometric distance measure which leads to an analytical formulation. The tracing over the qubit in the entropic calculation is reduced to a very simple prescription. And, when the d-dimensional system is a so-called X state, the density matrix having non-zero elements only along the diagonal and anti-diagonal so as to appear visually like the letter X, the entropic calculation can be carried out analytically. Such states of the full bipartite qubit-qudit system may be named "extended X states", whose density matrix is built of four block matrices, each visually appearing as an X. The optimization involved in the entropic calculation is generally over two parameters, reducing to one for many cases, and avoided altogether for an overwhelmingly large set of density matrices as our numerical investigations demonstrate. Our results also apply to states of a N-qubit system, where "extended X states" consist of (2^(N+2) - 1) states, larger in number than the (2^(N+1) - 1) of X states of N qubits. While these are still smaller than the total number (2^(2N) - 1) of states of N qubits, the number of parameters involved is nevertheless large. In the case of N = 2, they encompass the entire 15-dimensional parameter space, that is, the extended X states for N = 2 represent the full qubit-qubit system.

研究动机与目标

• 开发用于计算超越标准两量子比特情况的量子比特-量子位系统中量子失谐的解析方法。
• 将X态概念扩展至高维系统（量子比特-量子位及N量子比特），定义具有块对角X结构的“扩展X态”。
• 通过将优化限制在最多两个参数内，降低量子失谐的计算复杂度，许多情况下可通过代数求值避免优化。
• 利用通用闭式表达式，将两量子比特系统的几何度量量子失谐推广至任意(2⊗d)维系统。
• 证明当N=2时，扩展X态可覆盖两量子比特系统完整的15维参数空间，使该框架对两量子比特情况具有完备性。

提出的方法

• 引入‘扩展X态’，其中量子比特-量子位系统的密度矩阵由四个d×d块矩阵组成，每个块矩阵仅在主对角线和反对角线上有非零元素（X结构）。
• 通过计算互信息并减去经典关联，应用量子失谐的熵定义，利用块矩阵特征值分析简化对量子比特的迹运算。
• 将对量子比特上冯·诺伊曼测量的优化简化为最多两个参数（θ, φ），许多情况下可通过直接求值避免优化。
• 利用密度矩阵与最近似经典态之间的希尔伯特-施密特距离，推导几何度量的量子失谐，最小化测量基下的表达式。
• 通过矩阵分解，将几何失谐表示为Bloch向量与关联张量的函数，导出涉及2×2矩阵最大特征值的闭式公式。
• 通过证明该最小化结构在所有情况下均保持一致，证明两量子比特系统中推导出的几何失谐公式可推广至(2⊗d)系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对任意d的量子比特-量子位系统（超越两量子比特情况）实现量子失谐的解析计算？
• RQ2 在高维系统中，X态结构是否能简化失谐计算，特别是优化步骤？
• RQ3 此前仅知适用于两量子比特的几何度量量子失谐，能否推广至(2⊗d)系统并获得通用闭式表达式？
• RQ4 N量子比特系统中的扩展X态在多大程度上能覆盖量子关联的完整参数空间，特别是当N=2时？
• RQ5 对于一大类物理上相关的状态，能否完全避免或简化熵度量中失谐计算的优化步骤？

主要发现

• 扩展X态的熵度量量子失谐计算可简化为最多两个参数（θ, φ）的优化，其中由于对称性，一个参数常可被消除。
• 对于一大类扩展X态，可通过关键点的代数求值完全避免优化步骤，实现直接解析计算。
• 几何度量的量子失谐从两量子比特推广至(2⊗d)系统，公式 $ D^{(2)}_A( ho) = \frac{1}{2d}(\norm{x}^2 + \norm{T}^2 - k_{\text{max}}) $ 普适成立。
• 对于两量子比特X态，几何失谐公式简化为 $ D^{(2)}_A\left(\rho\right) = \frac{1}{4} \text{min}\left(|a|^2, \frac{1}{2}|a|^2 + \rho_0 - \frac{1}{2}\rho_+ \right) $，包含所有七个独立参数（在局部酉变换下）。
• 当N=2时，扩展X态可覆盖两量子比特密度矩阵的完整15维空间，使该框架对这一情况具有完备性。
• N量子比特系统中扩展X态的参数数量为 $ 2^{N+2} - 1 $，多于标准X态的 $ 2^{N+1} - 1 $ 个参数，但仍远小于完整的 $ 2^{2N} - 1 $ 参数空间。