[论文解读] Calculation of the Number of all Pairs of Disjoint S-permutation Matrices

Krasimir Yordzhev|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通用公式，利用图论技术计算所有无序不相交 $9 \times 9$ S-排列矩阵对的数量。通过将问题建模为 $n \times n$ 二分图，并利用其度序列和同构类，作者推导出恰好存在 419,250,816 对不相交的矩阵，且两个随机选取的 $9 \times 9$ S-排列矩阵不相交的概率约为 0.385。

ABSTRACT

The concept of S-permutation matrix is considered. A general formula for counting all disjoint pairs of $n^2 imes n^2$ S-permutation matrices as a function of the positive integer $n$ is formulated and proven in this paper. To do that, the graph theory techniques have been used. It has been shown that to count the number of disjoint pairs of $n^2 imes n^2$ S-permutation matrices, it is sufficient to obtain some numerical characteristics of all $n imes n$ bipartite graphs.

研究动机与目标

• 推导出所有无序不相交 $n^2 \times n^2$ S-排列矩阵对的通用计数公式。
• 建立 S-排列矩阵不相交性与 $n \times n$ 二分图结构属性之间的联系。
• 计算 $n=3$（即 $9 \times 9$ 矩阵）时的不相交对的确切数量，这是数独枚举中的关键情形。
• 确定两个随机选取的 $9 \times 9$ S-排列矩阵不相交的概率。

提出的方法

• 将 S-排列矩阵建模为 $n^2 \times n^2$ 的二元矩阵，其中每行、每列和每个 $n \times n$ 子块中恰好有一个 1。
• 通过 $n \times n$ 二分图的邻接结构表示两个 S-排列矩阵之间的不相交条件。
• 利用二分图的同构类对等价配置进行分组，并计算其重数。
• 定义度序列向量 $\langle \psi_0, \psi_1, \dots, \psi_n \rangle$ 以按顶点度分类图，并利用对称性。
• 使用公式 $\xi_n = \sum_{g \in \mathcal{G}_{n,k}} |g| \cdot (-1)^{\psi_n(g)} \cdot 6^{\psi_1(g)} \cdot 2^{\psi_2(g)}$，在同构类上应用容斥原理和带符号计数。
• 通过 C++ 程序数值计算 $\xi_3$，并利用 $\eta_n = \frac{(n!)^{2n}}{2} \xi_n$ 推导最终计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 有多少组无序的不相交 $9 \times 9$ S-排列矩阵对？
• RQ2 两个随机选取的 $9 \times 9$ S-排列矩阵不相交的概率是多少？
• RQ3 能否使用 $n \times n$ 二分图的图论不变量来计算不相交 S-排列矩阵对的数量？
• RQ4 此类对的通用计数公式作为 $n$ 的函数是什么？

主要发现

• 无序不相交的 $9 \times 9$ S-排列矩阵对的总数恰好为 419,250,816。
• 两个随机选取的 $9 \times 9$ S-排列矩阵不相交的概率约为 0.385211。
• 通过 $3 \times 3$ 二分图同构类上的带符号求和计算出的 $\xi_3$ 值为 17,972。
• 公式 $\eta_n = \frac{(n!)^{2n}}{2} \xi_n$ 为任意 $n$ 提供了无序不相交对的通用计数。
• 该方法成功地将 S-排列矩阵不相交性的组合复杂度简化为带符号权重的二分图同构类枚举。
• C++ 实现验证了 $n=3$ 时理论推导的正确性。