[论文解读] Calculus of conformal fields on a compact Riemann surface

Nam‐Gyu Kang, Nikolai Makarov|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文通过从背景电荷修正的高斯自由场构造共形场论，在紧致黎曼曲面上建立了严格的分析框架。推导了将李导数算子表示为Virasoro场与极点算子之和的Ward恒等式，并利用算子乘积展开和θ函数技巧，在环面上确立了Eguchi-Ooguri与BPZ方程。

ABSTRACT

We present analytical implementation of conformal field theory on a compact Riemann surface. We consider statistical fields constructed from background charge modifications of the Gaussian free field and derive Ward identities which represent the Lie derivative operators in terms of the Virasoro fields and the puncture operators associated with the background charges. As applications, we derive Eguchi-Ooguri's version of Ward's equations and certain types of BPZ equations on a torus.

研究动机与目标

• 在复平面之外的紧致黎曼曲面上，提供共形场论的数学严格构造。
• 在背景电荷存在的条件下，推导将李导数算子与Virasoro及极点算子关联的Ward恒等式。
• 利用算子乘积展开与关联函数，在环面上确立Eguchi-Ooguri版Ward方程与BPZ方程。
• 通过θ函数与Abel-Jacobi映射，发展Fock空间场的坐标无关形式体系，独立于同调基的选择。
• 将黎曼面的Liouville作用量与路径积分生成的划分函数，与修正的高斯自由场的关联函数相联系。

提出的方法

• 利用双极Green函数在亏格为g的紧致黎曼曲面上构造高斯自由场Φ，其表达式通过Riemann θ函数与Abel-Jacobi映射表示。
• 通过算子乘积展开（OPE）定义电流场J = ∂Φ与Virasoro场T，其关联函数与周期矩阵及再生核相关。
• 引入高斯自由场的背景电荷修正，导出修正后的电流场与Virasoro场，并推导其OPE指数形式。
• 利用形式上的Liouville作用量生成场，并计算其在环面上的划分函数，将其与关联函数相联系。
• 应用θ函数的周期性与零点定理（如定理A.3），定义具有良好行为的多点关联函数。
• 通过Virasoro场的围线积分推导Ward方程，将李导数表示为∮_v T X(z)/(2πi)，其中X属于OPE族F。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用带背景电荷的高斯自由场，在紧致黎曼曲面上严格构建共形场论？
• RQ2 在此设定下，将李导数算子与Virasoro及极点算子关联的精确Ward恒等式是什么？
• RQ3 Eguchi-Ooguri方程与BPZ方程如何从环面上修正的高斯自由场的OPE结构中自然涌现？
• RQ4 θ函数与Abel-Jacobi映射在实现关联函数的坐标无关、基无关形式体系中起到何种作用？
• RQ5 Liouville作用量在环面上生成共形场与划分函数的过程中扮演何种角色？

主要发现

• 本文证明，作用于OPE族F中场的李导数算子L_v^+ 可表示为∮_v T X(z)/(2πi)，其中T为Virasoro场，X ∈ F。
• 证明关联函数E[J(z)J̄(z₀)]等于周期矩阵的逆，且与同调基的选择无关。
• 证明1-点函数E[T]与theta特征标e无关，且Bergman投影联络自然出现。
• 对于关于p₀与q非奇异的e，比值Θ(𝒜(z)−𝒜(q)−e)/Θ(𝒜(z)−𝒜(p)−e) 定义了一个亚纯函数，其除子恰好为q−p。
• 双极Green函数G_p,q(z) 显式表示为F_{𝒜(p)+e,𝒜(q)+e}(𝒜(z))，其中F为由θ函数导出的周期函数，仅差一个实常数。
• 在环面上，计算了Liouville作用量的划分函数，并通过OPE指数形式与Coulomb气体关联函数相联系。