[论文解读] Calderon inverse Problem for the Schrodinger Operator on Riemann Surfaces

Colin Guillarmou, Leo Tzou|ArXiv.org|Apr 24, 2009

Numerical methods in inverse problems参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文通过狄利克雷-诺伊曼映射（柯西数据空间）在紧致黎曼曲面带边界的薛定谔算子 $ \Delta_g + V $ 上建立了势 $ V $ 的唯一性。证明依赖于通过全纯卡莱曼权构造复几何光学解，并应用平稳相位方法，将先前结果推广至曲面情形，确认在度量的共形类范围内唯一性成立。

ABSTRACT

On a fixed smooth compact Riemann surface with boundary $(M_0,g)$, we show that the Cauchy data space (or Dirichlet-to-Neumann map $\mc{N}$) of the Schrödinger operator $Δ+V$ with $V\in C^2(M_0)$ determines uniquely the potential $V$. We also discuss briefly the corresponding consequences for potential scattering at 0 frequency on Riemann surfaces with asymptotically Euclidean or asymptotically hyperbolic ends.

研究动机与目标

• 在紧致黎曼曲面带边 $ (M_0, g) $ 上，从薛定谔算子 $ \Delta_g + V $ 的柯西数据空间中建立势 $ V \in C^2(M_0) $ 的唯一性。
• 将卡勒隆逆问题推广至黎曼曲面，证明在完整数据测量下，狄利克雷-诺伊曼映射唯一确定 $ V $。
• 在黎曼曲面上发展一种利用全纯卡莱曼权构造特殊复几何光学解的方法，其复杂性高于欧几里得区域。
• 通过变换为具有势 $ V = (\Delta_g \gamma^{1/2}) / \gamma^{1/2} $ 的薛定谔算子，建立逆电导率问题与势问题之间的联系，将结果推广至 $ C^4 $ 电导率。
• 将逆问题推广至渐近欧几里得与渐近双曲曲面，证明在零频散射数据下，紧支集势的唯一性。

提出的方法

• 构造形式为 $ u = e^{\Phi/h}(a + r(h)) $ 的复几何光学解，其中 $ \Phi $ 为全纯卡莱曼权，$ r(h) $ 为当 $ h \to 0 $ 时的微小误差项。
• 利用 $ h \to 0 $ 时的平稳相位渐近分析，其中 $ \Phi $ 在点 $ p \in M_0 $ 处具有非退化的临界点，以恢复 $ V(p) $。
• 为黎曼曲面上退化权发展新的卡莱曼估计，这是控制几何光学构造中误差项的关键。
• 将特殊解方法应用于狄利克雷-诺伊曼映射，证明柯西数据相等意味着势相等。
• 通过在加权索伯列夫空间中对解进行限制与渐近分析，将非紧致散射问题在渐近双曲或渐近欧几里得曲面上约化为紧致情形。
• 利用相对指标定理与解在边界附近的渐近展开，证明在加权 $ L^2 $-空间中散射数据匹配意味着 $ V_1 = V_2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致黎曼曲面带边情形下，能否从薛定谔算子 $ \Delta_g + V $ 的完整柯西数据空间唯一重构势 $ V \in C^2(M_0) $？
• RQ2 在黎曼曲面上，狄利克雷-诺伊曼映射是否唯一确定各向同性电导率 $ \gamma \in C^4(M_0) $？
• RQ3 能否通过零频散射数据将渐近欧几里得或双曲曲面上薛定谔算子的逆问题约化为紧致情形？
• RQ4 全纯卡莱曼权在黎曼曲面上构造复几何光学解中起什么作用？与欧几里得情形有何不同？
• RQ5 在非紧致曲面上，解在加权索伯列夫空间 $ x^{\alpha}H^2_b $ 中匹配的条件是什么，能推出势相等？

主要发现

• 在紧致黎曼曲面带边情形下，若两个薛定谔算子 $ \Delta_g + V_1 $ 与 $ \Delta_g + V_2 $ 的柯西数据空间满足 $ \mathcal{C}_1 = \mathcal{C}_2 $，则 $ V_1 = V_2 $，从而证明了势的唯一性。
• 该结果在 $ V_1, V_2 \in C^2(M_0) $ 的假设下成立，且度量 $ g $ 可固定至其共形类，即仅需复结构。
• 该方法可推广至逆电导率问题：若两个 $ C^4 $ 电导率给出相同的狄利克雷-诺伊曼映射，则它们相等，推广了亨金-米歇尔的早期结果。
• 对于渐近欧几里得曲面，若在加权空间 $ x^{j-\epsilon}H^2_b $ 中的散射数据在所有阶上匹配，则 $ V_1 = V_2 $，从而在零频下确立了唯一性。
• 在黎曼曲面上构造全纯卡莱曼权是非平凡的，需发展针对退化权的新卡莱曼估计，这是关键的技术贡献。
• 证明依赖于唯一延拓性与格林公式，表明若某解在 $ L^2 $-正交于所有特殊解，则其必为零，从而推出 $ f = 0 $，故 $ V_1 = V_2 $。