[论文解读] Calibrated embeddings in the special Lagrangian and coassociative cases

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Dec 31, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文证明了每个紧致、定向、实解析的黎曼3-流形都可等距嵌入为一个卡拉比-丘3-流形中的特殊拉格朗日子流形，且每个具有平凡自对偶2-形式丛的此类4-流形都可等距嵌入为一个G₂-流形中的共协奏日子流形。这些嵌入可分别实现为反全纯和反G₂等距对合的固定点集，从而通过McLean的模空间理论提供了大量具有非平凡形变空间的紧致校准子流形的例子。

ABSTRACT

Every closed, oriented, real analytic Riemannian 3-manifold can be isometrically embedded as a special Lagrangian submanifold of a Calabi-Yau 3-fold, even as the real locus of an antiholomorphic, isometric involution. Every closed, oriented, real analytic Riemannian 4-manifold whose bundle of self-dual 2-forms is trivial can be isometrically embedded as a coassociative submanifold in a G_2-manifold, even as the fixed locus of an anti-G_2 involution. These results, when coupled with McLean's analysis of the moduli spaces of such calibrated submanifolds, yield a plentiful supply of examples of compact calibrated submanifolds with nontrivial deformation spaces.

研究动机与目标

• 构造实解析黎曼3-流形等距嵌入卡拉比-丘3-流形中作为特殊拉格朗日子流形。
• 将此构造推广至具有平凡自对偶2-形式丛的4-流形，使其等距嵌入为G₂-流形中的共协奏日子流形。
• 分别将这些嵌入实现为反全纯和反G₂等距对合的固定点集。
• 通过McLean的模空间分析，证明存在具有非平凡形变空间的紧致校准子流形。

提出的方法

• 利用黎曼几何中校准子流形的理论，重点研究特殊拉格朗日和共协奏结构。
• 应用类似Nash的隐函数定理，构造实解析黎曼流形在校准环境空间中的局部等距嵌入。
• 利用卡拉比-丘和G₂-流形上存在里奇平坦度量的事实，确保环境中的校准结构定义良好。
• 构造显式的对合（反全纯和反G₂），使其固定嵌入的子流形，从而确保其为实子流形且完全测地。
• 依赖度量的实解析性，以确保嵌入构造中形式幂级数解的收敛性。
• 结合McLean的校准子流形形变理论，证明所得子流形具有非平凡模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个紧致、定向、实解析的黎曼3-流形是否可等距嵌入为卡拉比-丘3-流形中的特殊拉格朗日子流形？
• RQ2 每个紧致、定向、实解析的黎曼4-流形（其自对偶2-形式丛平凡）是否可等距嵌入为G₂-流形中的共协奏日子流形？
• RQ3 此类嵌入是否可分别实现为等距反全纯和反G₂对合的固定点集？
• RQ4 这些构造是否产生具有非平凡形变空间的校准子流形？

主要发现

• 每个紧致、定向、实解析的黎曼3-流形都可等距嵌入为卡拉比-丘3-流形中的特殊拉格朗日子流形。
• 同一3-流形可作为卡拉比-丘3-流形上反全纯等距对合的实固定点集被嵌入。
• 每个紧致、定向、实解析的黎曼4-流形（其自对偶2-形式丛平凡）都可等距嵌入为G₂-流形中的共协奏日子流形。
• 此4-流形的嵌入可作为反G₂等距对合的固定点集实现。
• 这些构造产生了紧致校准子流形，其形变空间非平凡，与McLean理论的预测一致。
• 结果提供了大量具有非平凡模空间的紧致校准子流形的例子，原因在于形变空间维数非零。