[论文解读] Calibrated Fibrations on Complete Manifolds via Torus Action

Edward Goldstein|ArXiv.org|Feb 14, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 8

一句话总结

该论文证明了，当环面秩为 $ n-1 $ 且 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ 时，具有哈密顿环面作用的完备卡拉比-丘流形会允许由特殊拉格朗日子流形构成的校准纤维化。论文证明了辛约化继承全纯体积形式，且约化中的特殊拉格朗日子流形可提升为原流形中 $ T^k $-不变的特殊拉格朗日子流形。其主要贡献是验证了一个非紧致版本的SYZ猜想，适用于凯勒-爱因斯坦流形的典范丛以及 $ G \subset SU(n) $ 的阿贝尔群作用下的 $ \mathbb{C}^n / G $ 的创痕解析解.

ABSTRACT

In this paper we will investigate torus actions on complete manifolds with calibrations. For Calabi-Yau manifolds M^2n with a Hamiltonian structure-preserving k-torus action we show that any symplectic reduction has a natural holomorphic volume form. Moreover Special Lagrangian (SLag) submanifolds of the reduction lift to SLag submanifolds of M, invariant under the torus action. If k=n-1 and the first cohomology of M is trivial, then we prove that M is a fibration with generic fiber being a SLag submanifold. As an application we will see that crepant resolutions of singularities of a finite Abelian subgroup of SU(n) acting on C^n have SLag fibrations. We study SLag submanifolds on the total space K(N) of a canonical bundle of a Kahler-Einstein manifold N with positive scalar curvature. We give a conjecture about fibration of K(N) by SLag subvarieties with a certain asymptotic behavior at infinity, which we prove if N is toric. We also get similar results for coassociative submanifolds of a G_2-manifold M^7, which admits a 3-torus, a 2-torus or an SO(3)-action.

研究动机与目标

• 通过环面作用在非紧致卡拉比-丘流形上构造校准纤维化。
• 证明哈密顿环面作用的辛约化继承全纯体积形式并保持特殊拉格朗日子流形结构。
• 为正曲率的凯勒-爱因斯坦流形的典范丛建立非紧致版本的SYZ猜想。
• 将框架扩展至 $ G_2 $-流形，证明在三环面、二环面或 $ SO(3) $ 作用下可构造共协子流形纤维化。
• 证明对于有限阿贝尔群 $ G \subset SU(n) $ 的 $ \mathbb{C}^n / G $ 的创痕解析解，可通过环面作用实现特殊拉格朗日子流形纤维化。

提出的方法

• 在完备卡拉比-丘流形上使用哈密顿 $ T^k $-作用，定义其作用的矩映射与辛约化。
• 证明辛约化流形 $ M_{\text{red}} $ 从原流形继承自然的全纯体积形式 $ \varphi_{\text{red}} $。
• 将 $ M_{\text{red}} $ 中的特殊拉格朗日子流形提升为 $ M $ 中的 $ T^k $-不变特殊拉格朗日子流形，反之亦然，前提是作用在子流形上自由。
• 应用定理2，证明当 $ k = n-1 $ 且 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ 时，$ M $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上存在校准纤维化，其一般纤维微分同胚于 $ T^{n-1} \times \mathbb{R} $。
• 通过矩映射 $ \mu' = u \pi^{-1}(\mu) $ 与水平集 $ u(|\xi|^2)\mu_i(\pi(\xi)) = c_i $，$ \operatorname{Im} \xi(X_1,\dots,X_n) = c_n $ 定义 $ K(N) $ 中的特殊拉格朗日子流形纤维。
• 应用关于具有三环面、二环面或 $ SO(3) $ 作用的 $ G_2 $-流形的结果，通过约化与不变性构造共协子流形纤维化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有哈密顿环面作用的完备卡拉比-丘流形会允许由特殊拉格朗日子流形构成的校准纤维化？
• RQ2 此类流形的辛约化如何继承全纯体积形式与校准结构？
• RQ3 能否将SYZ猜想扩展至非紧致卡拉比-丘流形，特别是凯勒-爱因斯坦流形的典范丛？
• RQ4 对于有限阿贝尔群 $ G \subset SU(n) $ 的 $ \mathbb{C}^n / G $ 的创痕解析解，是否可通过环面作用实现特殊拉格朗日子流形纤维化？
• RQ5 在具有三环面、二环面或 $ SO(3) $ 作用的 $ G_2 $-流形中，共协子流形纤维化的结构是怎样的？

主要发现

• 对于卡拉比-丘流形 $ M^{2n} $ 上的哈密顿 $ T^k $-作用，其辛约化 $ M_{\text{red}} $ 会继承自然的全纯体积形式 $ \varphi_{\text{red}} $。
• 在 $ M_{\text{red}} $ 中的特殊拉格朗日子流形可提升为 $ M $ 中的 $ T^k $-不变特殊拉格朗日子流形，反之亦然，前提是作用在子流形上自由。
• 当 $ k = n-1 $ 且 $ H^1(M,\mathbb{R}) = 0 $ 时，$ M $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上存在校准纤维化，其一般纤维微分同胚于 $ T^{n-1} \times \mathbb{R} $。
• 在 $ K(N) $，即凯勒-爱因斯坦流形 $ N $ 的典范丛上，纤维在无穷远处渐近于 $ L_0 $，其中 $ L_0 $ 是 $ c_i = 0 $ 处的纤维。
• 对于 $ G \subset SU(n) $ 的阿贝尔群作用下的 $ \mathbb{C}^n / G $ 的创痕解析解，由对角作用诱导的 $ T^{n-1} $-作用可提升至解析解，并产生特殊拉格朗日子流形纤维化。
• 在具有 $ SO(3) $-作用的 $ G_2 $-流形中，正则点被不相交的共协子流形覆盖，其微分同胚于 $ SO(3) \times \mathbb{R} $，且整个空间由不同类型的此类子流形覆盖。