[论文解读] Callias-type operators in $C^\ast$-algebras and positive scalar curvature on noncompact manifolds

S. Cecchini|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文研究了非紧自旋流形上与希尔伯特 $C^{\bullet}$-模丛扭结的卡利亚型算子的理论，并建立了索引定理，从而得出一种新的正 scalar 曲率度量存在的障碍。关键结果表明，若一个完备自旋流形 $M$ 拥有一个余维一的子流形 $N$，且其 scalar 曲率为非负，并在 $N$ 附近严格为正，则复 Rosenberg 索引 $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ 必须为零，从而对这类几何结构施加了强有力的约束。

ABSTRACT

A Dirac-type operator on a complete Riemannian manifold is of Callias-type if its square is a Schrödinger-type operator with a potential uniformly positive outside of a compact set. We develop the theory of Callias-type operators twisted with Hilbert $C^\ast$-module bundles and prove an index theorem for such operators. As an application, we derive an obstruction to the existence of complete Riemannian metrics of positive scalar curvature on noncompact spin manifolds in terms of closed submanifolds of codimension-one.

研究动机与目标

• 将卡利亚型算子的索引理论推广至非紧流形上的希尔伯特 $C^*$-模丛。
• 为非紧自旋流形上存在完备黎曼度量且具有正 scalar 曲率建立新的障碍。
• 证明：若 $N \times \mathbb{R}$ 允许一个具有非负 scalar 曲率且在 $N$ 附近严格为正的完备度量，则复 Rosenberg 索引 $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ 必须为零。
• 通过仅在子流形的邻域内要求正曲率，将 Rosenberg 定理 1.3 推广至非一致正 scalar 曲率度量。

提出的方法

• 为完备黎曼流形上的卡利亚型算子建立泛函分析框架，其中其平方为在紧集外部具有正势能的薛定谔型算子。
• 引入并研究取值于基本群的复群 $C^*$-代数相关希尔伯特 $C^*$-模丛的扭 Dirac 算子。
• 使用满足特定紧支集与梯度条件的截断函数列 $\{\phi_k\}$ 来逼近单位算子并控制算子范数。
• 应用 $C^*$-代数的循环表示理论，分析扭卡利亚算子的伴随性，并证明其在 $L^2$ 意义下的自伴性。
• 利用 Bochner-Lichnerowicz 公式及邻域内曲率的正性，推导出索引不变量的消失。
• 利用控制收敛定理与 $\|\phi_k Q_\rho s\|_0$ 的一致有界性，取极限并建立形式伴随算子所需的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $N \times \mathbb{R}$ 允许一个具有正 scalar 曲率的完备度量时，闭自旋流形 $N$ 的复 Rosenberg 索引 $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ 在何种条件下为零？
• RQ2 对非紧流形上正 scalar 曲率的障碍是否可从一致正曲率推广至仅在子流形附近点态正曲率？
• RQ3 包含映射 $i_*: \pi_1(N) \to \pi_1(M)$ 在基本群上的单射性在索引消失结果中起什么作用？
• RQ4 $C^*$-代数扭 Dirac 算子的理论如何改进非紧流形上索引理论中现有障碍？
• RQ5 复 $C^*$-代数索引障碍是否可用于推导所有满足 Gromov-Lawson-Rosenberg 猜想的闭自旋流形的猜想 1.2？

主要发现

• 若 $M$ 是一个完备自旋流形，其拥有余维一子流形 $N$，且包含映射在 $\pi_1$ 上诱导单射，$M$ 具有非负 scalar 曲率且在 $N$ 的邻域内严格为正，则复 Rosenberg 索引 $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ 必须为零。
• 该结果适用于柱面 $N \times \mathbb{R}$，表明若此类流形允许具有非负 scalar 曲率且在 $N$ 附近严格为正的完备度量，则 $\alpha_{\mathbb{C}}(N) = 0$，即使不存在整体正曲率。
• 证明依赖于一种新颖的泛函分析方法，利用截断函数与 $\|\phi_k Q_\rho s\|_0$ 的一致有界性，确保在 $L^2$ 意义下的收敛性。
• 通过使用梯度受控的截断函数列的极限论证，确立了扭卡利亚算子的自伴性。
• 该方法避免了对整个流形上 scalar 曲率一致为正的要求，使障碍适用于更广泛的度量类。
• 该结果为 Rosenberg 定理 1.3 提供了部分逆向，将其适用范围扩展至非一致正 scalar 曲率度量。