[论文解读] Calogero-Sutherland model in interacting fermion picture and explicit construction of Jack states

Jian-Feng Wu, Ming Yu|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文通过二次量子化和有限阶微扰理论，为Calogero-Sutherland（CS）模型提出了一种费米子图像，利用费米子相互作用的三角结构，通过从自由费米子态出发的相似变换显式构造Jack态。该方法提供了一套系统化、保持可积性的精确本征态构造框架，可推广至其他具有绝热可解性的体系。

ABSTRACT

The 40-year-old Calogero-Sutherland (CS) model remains a source of inspirations for understanding 1d interacting fermions. At $β=1, ext{or}0$, the CS model describes a free non-relativistic fermion, or boson theory, while for generic $β$, the system can be interpreted either as interacting fermions or bosons, or free anyons depending on the context. However, we shall show in this letter that the fermionic picture is advantageous in diagonalizing the CS Hamiltonian. Comparing to the previously known multi-integral representation or the Dunkl operator formalism for the CS wave functions, our method depends on the (upper or lower) triangular nature of the fermion interaction, which is resolved in perturbation theory of the second quantized form. The eigenstate is constructed from a multiplet of unperturbed states and the perturbation is of finite order. The full construction is a similarity transformation from the free fermion theory, in the same spirit as the Landau Fermi liquid theory and the 1d Luttinger liquid theory. That means quasi-particles or anyons can be represented in terms of free fermion modes (or bosonic modes via bosonization). The method is applicable to other (higher than one space dimension) systems for which the adiabatic theorem applies.

研究动机与目标

• 开发一种费米子图像来描述Calogero-Sutherland模型，以简化其哈密顿量的对角化。
• 通过利用费米子相互作用的三角结构，解决在一般β下构造精确本征态的挑战。
• 利用从自由费米子态出发的相似变换，显式构造有限阶微扰下的Jack态。
• 将该方法推广至其他在适当基下哈密顿量呈三角结构且绝热定理适用的可积体系。

提出的方法

• 该方法采用二次量子化微扰理论，将相互作用哈密顿量 $ H = H^{(0)} + H^{(I)} $ 分解为对角部分 $ H^{(d)} = H^{(0)} + H^{\parallel} $ 和严格三角部分 $ H^{\perp} $，其中基为未微扰本征态。
• 通过时间有序相似变换 $ S = T\exp\left(\int_{-\infty}^{0} H^{\perp}(t) dt\right) $ 构造精确本征态，其中 $ H^{\perp}(t) = e^{-tH^{(d)}} H^{\perp} e^{tH^{(d)}} $，以保证幺正演化并恢复厄米性。
• 该构造假设 $ H^{\perp} $ 在相关希尔伯特子空间上幂零，从而实现有限阶微扰展开，并确保级数 $ R(E) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( (E - H^{(d)})^{-1} H^{\perp} \right)^n $ 收敛。
• 该方法依赖于平移动量算符 $ P^{d}_{r} = P^{(0)}_{r} + P^{\parallel}_{r} $，其中 $ P^{\parallel}_{r} $ 引入一个与 $ \beta - 1 $ 成比例的自生“规范势”，编码相互作用强度。
• 通过在填充费米海真空 $ |f\rangle $ 上作用顶点算符 $ S(k) $ 生成Jack态，其中 $ S(k) $ 通过相似变换 $ S $ 定义，保持守恒荷的对易性。
• 形式体系相对于微扰真空 $ |f\rangle $ 保持正规排序，且Jack函数与Schur函数之间的转移矩阵 $ R_{\lambda}^{\nu} $ 被证明为具有单位对角线的三角矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意β下，利用费米子框架系统地构造Calogero-Sutherland模型的本征态？
• RQ2 二次量子化中费米子相互作用的三角结构是否能实现精确本征态的有限阶微扰构造？
• RQ3 相似变换 $ S $ 在将自由费米子态映射为相互作用的Jack态的同时，如何保持可积性？
• RQ4 平移动量算符 $ P^{d}_{r} $ 中的自生“规范势”如何编码相互作用强度 $ \beta $？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至其他具有绝热可解性的可积模型？

主要发现

• Calogero-Sutherland哈密顿量的精确本征态被构造为 $ |E\rangle = R(E) |E^{(0)}\rangle_{0} $，其中 $ R(E) = \left(1 - (E - H^{(d)})^{-1} H^{\perp}\right)^{-1} $，且 $ H^{\perp} $ 严格三角且幂零。
• 相似变换 $ S $ 通过时间有序指数定义，将自由费米子态 $ |E^{(0)}\rangle_{0} $ 映射为精确相互作用态 $ |E\rangle $，确保 $ H = S H^{(d)} S^{-1} $。
• 当 $ \beta = 1 $ 时，该方法退化为自由费米子理论，$ P^{\parallel}_{r} = 0 $，并恢复动量算符 $ P^{(0)}_{r} $。
• 证明了Jack对称函数在Schur基下为三角形，转移矩阵 $ R_{\lambda}^{\nu} $ 具有单位对角线，且可表示为三角矩阵 $ (v^{1/\beta})_{\lambda}^{\mu} $ 和 $ ((v^{1})^{-1})_{\mu}^{\nu} $ 的乘积。
• 守恒荷 $ W^{n} = S \sum_{r} (P^{d}_{r})^{n} S^{-1} $ 相互对易，证实了在相似变换下模型的可积性。
• 该构造在哈密顿量于未微扰本征态基下呈三角结构且 $ H^{\perp} $ 幂零的任何体系中均成立，因此可超越CS模型进行推广。