[论文解读] Cambrian Lattices

Nathan Reading|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 162

一句话总结

本文将坎布里安格（Cambrian lattices）定义为通过格同余关系对有限考克斯特群上的弱序（weak order）取商所得的结构，构建与这些格相关的完整扇（complete fans），并猜想其组合同构于广义关联单纯形（generalized associahedra）的法扇（normal fans）。在类型 A 和 B 中，通过三角剖分和置换给出了组合实现，证明了这些扇与广义关联单纯形同构，并与福明和泽列夫斯基（Fomin and Zelevinsky）的簇扇（cluster fan）线性同构。

ABSTRACT

For an arbitrary finite Coxeter group W we define the family of Cambrian lattices for W as quotients of the weak order on W with respect to certain lattice congruences. We associate to each Cambrian lattice a complete fan, which we conjecture is the normal fan of a polytope combinatorially isomorphic to the generalized associahedron for W. In types A and B we obtain, by means of a fiber-polytope construction, combinatorial realizations of the Cambrian lattices in terms of triangulations and in terms of permutations. Using this combinatorial information, we prove in types A and B that the Cambrian fans are combinatorially isomorphic to the normal fans of the generalized associahedra and that one of the Cambrian fans is linearly isomorphic to Fomin and Zelevinsky's construction of the normal fan as a cluster fan. Our construction does not require a crystallographic Coxeter group and therefore suggests a definition, at least on the level of cellular spheres, of a generalized associahedron for any finite Coxeter group. The lattice is one of the Cambrian lattices of type A, and two Tamari lattices in type B are identified and characterized in terms of signed pattern avoidance. We also show that open intervals in Cambrian lattices are either contractible or homotopy equivalent to spheres.

研究动机与目标

• 通过格同余关系，将坎布里安格定义为有限考克斯特群上弱序的商。
• 为每个坎布里安格关联一个完整扇，并猜想其组合同构于广义关联单纯形的法扇。
• 通过三角剖分和置换，在类型 A 和 B 中提供坎布里安格的组合实现。
• 建立一个坎布里安扇与福明和泽列夫斯基（Fomin and Zelevinsky）的簇扇构造之间的线性同构。
• 通过胞复球面模型（cellular sphere models），将广义关联单纯形的概念推广至非晶体学考克斯特群。

提出的方法

• 通过特定格同余关系，将坎布里安格定义为有限考克斯特群 W 上弱序的商。
• 为每个坎布里安格构造一个完整扇，将其解释为广义关联单纯形法扇的候选。
• 利用纤维多面体构造（fiber-polytope constructions），在类型 A 和 B 中通过三角剖分和置换实现坎布里安格的组合结构。
• 证明坎布里安格中的开区间要么是可缩的，要么同伦等价于球面。
• 建立坎布里安扇与类型 A 和 B 中广义关联单纯形法扇之间的组合同构。
• 证明在类型 A 和 B 中，一个坎布里安扇与福明和泽列夫斯基（Fomin and Zelevinsky）的簇扇之间存在线性同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 坎布里安格是否可以为任意有限考克斯特群定义，而不仅限于晶体学类型？
• RQ2 与坎布里安格关联的扇是否组合同构于广义关联单纯形的法扇？
• RQ3 通过三角剖分和置换在类型 A 和 B 中对坎布里安格进行的组合实现是否能正确反映其格结构？
• RQ4 在类型 A 和 B 中，是否存在坎布里安扇与福明和泽列夫斯基（Fomin and Zelevinsky）的簇扇之间的线性同构？
• RQ5 坎布里安格中开区间的同伦类型是什么？

主要发现

• 坎布里安格可通过弱序商与格同余关系，为任意有限考克斯特群定义。
• 每个坎布里安格关联的扇是一个完整扇，且猜想其组合同构于广义关联单纯形的法扇。
• 在类型 A 中，坎布里安格通过多边形的三角剖分实现组合结构。
• 在类型 B 中，坎布里安格通过带符号置换与带符号模式避免（signed pattern avoidance）实现，其中识别并刻画了两个坦玛里格（Tamari lattices）。
• 坎布里安格中的开区间要么是可缩的，要么同伦等价于球面。
• 在类型 A 和 B 中，一个坎布里安扇与福明和泽列夫斯基（Fomin and Zelevinsky）的簇扇线性同构，证实了一个关键猜想。