[论文解读] Can a Drinfeld module be modular?

David Goss|ArXiv.org|Oct 24, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文研究了函数域上的秩-1 Drinfeld 模是否可以模形式化，即其关联的伽罗华表示是否源自尖形式或双尖形式。在 Böckle 工作的基础上，本文建立了一个将 Drinfeld 模伽罗华表示与模形式联系起来的框架，提出了关于模形式化、权重、水平和 $ r-1 $-次互反律的关键问题。

ABSTRACT

Let $k$ be a global function field with field of constants $\Fr$ and let $\infty$ be a fixed place of $k$. In his habilitation thesis \cite{boc2}, Gebhard Böckle attaches abelian Galois representations to characteristic $p$ valued cusp eigenforms and double cusp eigenforms \cite{go1} such that Hecke eigenvalues correspond to the image of Frobenius elements. In the case where $k=\Fr(T)$ and $\infty$ corresponds to the pole of $T$, it then becomes reasonable to ask whether rank 1 Drinfeld modules over $k$ are themselves ``modular'' in that their Galois representations arise from a cusp or double cusp form. This paper gives an introduction to \cite{boc2} with an emphasis on modularity and closes with some specific questions raised by Böckle's work.

研究动机与目标

• 确定全局函数域上的秩-1 Drinfeld 模是否可以模形式化，即其伽罗华表示是否源自尖形式或双尖形式。
• 理解正特征情形下 Hecke 特征值与 $ q $-展开系数之间的关系，该关系与经典模形式存在根本性差异。
• 研究为实现可统一化的 Drinfeld 模的伽罗华表示，模形式所需的结构性约束，特别是权重与水平。
• 探讨经典模形式与其正特征对应物之间的类比，尤其关注 $ dq = *q^2 dz $ 微分条件的影响。
• 确定是否存在双尖形式可实现特定 Drinfeld 模（如 $ C^{(-\theta)} \bigotimes C^{\bigotimes j} $）的伽罗华表示。

提出的方法

• 利用 Böckle 的 $ \tau $-层上同调框架，从尖形式与双尖形式构造伽罗华表示。
• 应用 $ \mathbb{F}_r(T) $ 上的 Drinfeld 模理论，特别是那些在 $ \mathbb{F}_r((1/\theta)) $ 上可统一化的模，以定义 $ v $-进表示。
• 利用正特征情形下的 $ q $-展开原理，其中 $ dq = *q^2 dz $，分析代数上半平面上的模形式。
• 利用 Hecke 算子作用于尖形式与双尖形式空间，将特征值与伽罗华表示关联。
• 在 $ \mathbb{F}_r[T] $ 中应用 $ (r-1) $-次互反律，以预测相关伽罗华特征的导子与水平。
• 采用 $ Rf_* $ 上晶体的上同调方法研究模形式性，尽管纯性不被保持，这使得权重预测变得复杂。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在某个权重与水平的双尖形式，其 Böckle 系统伽罗华表示与 $ C^{(-\theta)} \otimes C^{\otimes j} $（$ j \geq 0 $ 且 $ j \equiv 0 \pmod{r-1} $）完全匹配？
• RQ2 对于在 $ \mathbb{F}_r((1/\theta)) $ 上可统一化的 $ \mathbb{F}_r(\theta) $ 上的给定秩-1 Drinfeld 模，实现其伽罗华表示的模形式的正确权重与水平是什么？
• RQ3 在正特征情形下，特征形式的 $ q $-展开系数如何与它们的 Hecke 特征值关联，考虑到非经典的微分 $ dq = *q^2 dz $？
• RQ4 能否为正特征情形下 $ \tau $-层的 $ L $-函数建立类似于经典情形的函数方程？
• RQ5 是否存在一种一般构造方法，用于生成位于尖形式空间中但不属于双尖形式的特征形式基？

主要发现

• 通过 Böckle 理论从尖形式与双尖形式构造的伽罗华表示与 Hecke 特征值相容，建立了模形式性的基础联系。
• 对于 Drinfeld 模 $ C^{(-\theta)} $，其关联特征 $ \chi_{-\theta} $ 的有限部分导子为 $ (T) $，提示任何实现该模的模形式的水平应为 $ (T) $。
• 正特征情形下 $ q $-展开系数与 Hecke 特征值之间的关系极为复杂，且与经典情形不同，原因在于微分 $ dq = *q^2 dz $。
• 目前尚无已知的一般方法可从 Hecke 特征值重构 $ q $-展开系数，表明该理论中存在重大空白。
• 模形式空间是有限维的，这一点通过 Kapranov 的紧化与凝聚上同调得以证明，支持了分类的可能性。
• 由于 $ Rf_* $ 上晶体的纯性不成立，无法直接预测实现给定伽罗华表示的模形式的权重。