[论文解读] Can a Hagedorn system have a temperature other than $T_C$ or can a thermostat have a temperature other than its own?

L. G. Moretto, K. A. Bugaev+2 more|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 3

一句话总结

本文主张，Hagedorn系统——其能级密度呈指数形式 ρ∝exp(aE)——只能存在于一个固有的温度 TC=1/a，而非传统上使用的分区函数 Z(T)=TC T/(TC−T) 所暗示的任意低于 TC 的温度。作者证明，此类分区函数在热力学上不一致，因为它假设系统可与任何 T<TC 的热浴耦合，而这对熵随能量线性增长、因而具有固定唯一温度 T_C 的 Hagedorn 系统而言是不可能的。

ABSTRACT

This is a note intended to complement our paper (nucl-th/0504010) and addressed to the attention of QGP workers interested in bag models, Hagedorn spectra, and the like. It tries to show that with a Hagedorn-like experimental spectrum the partition function can not be calculated and that a canonical description derived for the microcanonical ensemble exists only for a single, fixed temperature.

研究动机与目标

• 挑战传统上对 Hagedorn 系统使用温度依赖的分区函数 Z(T) = TC T/(TC−T) 的做法。
• 阐明具有指数能级密度 ρ∝exp(aE) 的系统本质上是处于单一固定温度 TC=1/a 的热浴。
• 表明标准分区函数方法的失败，是因为其假设可与热浴任意耦合，而这对此类系统在物理上无效。
• 确立热平衡仅在两系统熵的对数导数（即倒数温度）匹配时才可能实现，而对 Hagedorn 系统而言，这仅在 T=TC 时成立。

提出的方法

• 分析 Hagedorn 系统的能级密度 ρ(E) = exp(E/TC)，表明其导致线性熵 S(E) = E/TC。
• 通过拉普拉斯变换推导分区函数 Z(T)：Z(T) = ∫ exp(E/TC) exp(−E/T) dE = TC T/(TC−T)，但指出此结果在物理上无效。
• 利用微正则到正则系综的转换，表明分区函数仅在系统的熵 S(E) 允许与热浴的倒数温度匹配时才有意义。
• 应用热平衡条件：∂S_A/∂E = ∂S_B/∂E，要求 1/T_A 与 1/T_B 匹配，这仅在两系统具有兼容的温度依赖熵导数时才可能。
• 证明对于 Hagedorn 系统，S(E) 为线性，因此 T_A 为常数且与能量无关，使其成为真正的热浴，温度为 T_C。
• 得出结论：具有线性 S(E) 的系统无法被赋予 T≠T_C 的温度，因此 T≠T_C 时的 Z(T) 在热力学上无意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hagedorn 系统能否被赋予除其固有临界温度 TC=1/a 以外的温度？
• RQ2 标准分区函数 Z(T)=TC T/(TC−T) 是否适用于 Hagedorn 系统？是否违反热力学一致性？
• RQ3 能否将具有指数能级密度 ρ∝exp(aE) 的系统与任何温度 T<TC 的热浴耦合？
• RQ4 当熵 S(E) 与能量呈线性关系时，分区函数 Z(T) 的物理意义是什么？
• RQ5 在何种条件下，两系统之间可实现热平衡，特别是当其中一者为 Hagedorn 系统时？

主要发现

• 具有能级密度 ρ∝exp(aE) 的 Hagedorn 系统具有固定且固有的温度 TC=1/a，无法存在于其他温度。
• 标准分区函数 Z(T)=TC T/(TC−T) 在热力学上不一致，因为它暗示系统可在任意 T<TC 下实现热平衡，这与系统固定的温度相矛盾。
• 只有当系统的熵 S(E)=lnρ(E) 允许其倒数温度（dS/dE）与热浴匹配时，分区函数才具有物理意义；对 Hagedorn 系统而言，这仅在 T=TC 时可能。
• 两系统间热平衡的条件是其倒数温度匹配；对 Hagedorn 系统而言，这仅在另一系统也具有 T=TC 时才可能。
• 具有线性 S(E) 的系统无法被强制处于 T≠T_C 的温度，因为其温度是熵 S(E) 斜率决定的内在属性。
• 在共振气体模型和袋模型计算中使用 Z(T) 会导致错误结果，因为它违反了热浴仅能具有其自身固有温度的原则。