[论文解读] Can an infinite left-product of nonnegative matrices be expressed in terms of infinite left-products of stochastic ones?

Alain Thomas|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2009

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了当特征值1的公共右特征向量具有零元素时，是否能通过无穷左乘积的非负矩阵表示为无穷左乘积的随机矩阵。研究发现，只要对非对角块施加额外条件，原始乘积的收敛性等价于其在不变子空间上相关随机乘积的收敛性，从而将已知结果扩展至非正特征向量的情形。

ABSTRACT

If a left-product $M_n... M_1$ of square complex matrices converges to a nonnull limit when $n o\infty$ and if the $M_n$ belong to a finite set, it is clear that there exists an integer $n_0$ such that the $M_n$, $n\ge n_0$, have a common right-eigenvector $V$ for the eigenvalue 1. Now suppose that the $M_n$ are nonnegative and that $V$ has positive entries. Denoting by $Δ$ the diagonal matrix whose diagonal entries are the entries of $V$, the stochastic matrices $S_n=Δ^{-1}M_nΔ$ satisfy $M_n... M_{n_0}=ΔS_n... S_{n_0}Δ^{-1}$, so the problem of the convergence of $M_n... M_1$ reduces to the one of $S_n... S_{n_0}$. In this paper we still suppose that the $M_n$ are nonnegative but we do not suppose that $V$ has positive entries. The first section details the case of the $2 imes2$ matrices, and the last gives a first approach in the case of $d imes d$ matrices.

研究动机与目标

• 确定当特征值1的公共右特征向量具有零元素时，无穷左乘积的非负矩阵是否可借助无穷左乘积的随机矩阵来刻画。
• 将经典从非负矩阵到随机矩阵的约化方法，从正特征向量情形推广至更一般情形。
• 识别无穷左乘积的非负矩阵收敛性的必要与充分条件，通过其在不变子空间上的随机对应物进行刻画。
• 形式化原始矩阵乘积收敛性与相关随机乘积在谱子空间上收敛性之间的等价关系，附加对非对角块的条件。

提出的方法

• 对于2×2矩阵，通过分类分析特征值1的公共右特征向量的结构，区分正元素、零元素或混合元素的情形，研究收敛性。
• 引入基于特征向量V的对角矩阵Δ的相似变换，定义随机矩阵Sₙ = Δ⁻¹MₙΔ，将非负矩阵转化为随机矩阵。
• 对于d×d矩阵，将指标集划分为基于每个右特征向量Vᵢ支集的块Kᵢ，并在每个块Kᵢ上构造随机乘积Sₙ⁽ⁱ⁾。
• 证明原始乘积的收敛性等价于每个块Kᵢ上随机乘积Sₙ⁽ⁱ⁾⋯Sₙ₀⁽ⁱ⁾的收敛性，加上涉及Kᶜ的非对角块乘积的收敛性。
• 采用分块矩阵分解与乘积公式，将原始矩阵乘积与分块三角矩阵的乘积关联起来，从而隔离不变子空间上的行为。
• 利用随机乘积的行列式与迹的动力学分析收敛性，特别关注|det Qₙ|是否趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 当特征值1的公共右特征向量具有零元素时，无穷左乘积的非负矩阵的收敛性是否可约化为无穷左乘积的随机矩阵的收敛性？
• RQ2 为确保在不变子空间上随机乘积的收敛性能推出原始非负矩阵乘积的收敛性，还需满足哪些额外条件？
• RQ3 右特征向量的结构（特别是含零元素的特征向量）如何影响非负矩阵乘积向随机矩阵的可约化性？
• RQ4 在给定不变子空间上收敛的前提下，对非对角块Mᴷᶜ, Mᴷ, 和Mᴷ,ᴷᶜ应施加何种条件，才能保证完整乘积Mₙ⋯M₁的收敛性？

主要发现

• 对于2×2非负矩阵，左乘积Mₙ⋯M₁的收敛性等价于以下三种情形之一：(1) 存在公共正右特征向量且其关联的随机乘积收敛；(2) 公共右特征向量为(1,0)ᵀ，且∑bₙdₙ₋₁⋯dₙ₀有限且dₙ⋯dₙ₀收敛；(3) 公共右特征向量为(0,1)ᵀ，且∑cₙaₙ₋₁⋯aₙ₀有限且aₙ⋯aₙ₀收敛。
• 在d×d情形下，Mₙ⋯M₁的收敛性等价于每个对应于右特征向量Vᵢ支集的块Kᵢ上随机乘积Sₙ⁽ⁱ⁾⋯Sₙ₀⁽ⁱ⁾的收敛性，加上非对角块乘积∑ᵢ₌ₙ₀ⁿ Mᴷⁿ⋯Mᴷⁱ⁺¹ Mᴷ,ᴷᶜⁱ Mᴷᶜⁱ⁻¹⋯Mᴷᶜⁿ₀的收敛性。
• 对求和∑ᵢ₌ₙ₀ⁿ Mᴷⁿ⋯Mᴷⁱ⁺¹ Mᴷ,ᴷᶜⁱ Mᴷᶜⁱ⁻¹⋯Mᴷᶜⁿ₀的条件是必要且不可省略的，反例表明即使对角块收敛，该和仍可能发散。
• 若对所有n有ρ(Mᴷᶜⁿ) < 1，或对固定h，乘积Mᴷᶜⁿ⁺ʰ⋯Mᴷᶜⁿ中≥1的特征值消失，则非对角收敛条件成立。
• 归一化乘积Rₙ = Mₙ⋯M₁ / ||Mₙ⋯M₁||的收敛性意味着极限矩阵R的非零列是每个无限次出现的矩阵M的右特征向量，对应特征值λ ≠ 0。
• 本文证明了归一化乘积Rₙ的收敛性不蕴含(1/λ)Mₙ⋯M₁的收敛性，但逆命题成立：若(1/λ)Mₙ⋯M₁收敛于非零矩阵，则Rₙ也收敛。