[论文解读] Can non-local correlations be discriminated in polynomial time?

A. Montina, Stefan Wolf|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于在可访问最优贝尔不等式界查询接口的前提下，计算给定非信号相关性到局部多面体的欧几里得距离。在数值测试中，该算法实现了多项式规模的缩放（测量数的六次方以内），挑战了普遍认为非局域性判别在计算上不可行的观点，该观点源于Pitowski的NP完全性结果。

ABSTRACT

In view of the importance of quantum non-locality in cryptography, quantum computation and communication complexity, it is crucial to decide whether a given correlation exhibits non-locality or not. In the light of a theorem by Pitowski, it is generally believed that this problem is computationally intractable. In this paper, we first prove that the Euclidean distance of given correlations from the local polytope can be computed in polynomial time with arbitrary fixed error, granted the access to a certain oracle. Namely, given a fixed error, we derive two upper bounds on the running time. The first bound is linear in the number of measurements. The second bound scales as the number of measurements to the sixth power. The former is dominant only for a very high number of measurements and is never saturated in the performed numerical tests. We then introduce a simple algorithm for simulating the oracle. In all the considered numerical tests, the simulation of the oracle contributes with a multiplicative factor to the overall running time and, thus, does not affect the sixth-power law of the oracle-assisted algorithm.

研究动机与目标

• 调查非局域相关性是否能在多项式时间内被区分，以挑战普遍认为该问题计算上不可行的观点。
• 开发一种高效算法，用于计算给定相关性到局部多面体的距离，这是非局域性检测中的关键步骤。
• 通过一种保持实际多项式时间缩放的随机方法，模拟算法所需的查询接口。
• 在各种量子态和测量设置下测试算法的性能与可扩展性。

提出的方法

• 将非局域性问题重新表述为对局部多面体的欧几里得距离最小化，利用凸优化技术。
• 假设存在一个查询接口，可计算贝尔不等式的最优局域界，从而实现在固定误差下的多项式时间距离计算。
• 推导出运行时间的两个理论上限：与测量数线性相关，以及六次方缩放，后者在实际中占主导地位。
• 提出一种概率性查询接口模拟方法，其中通过一组随机输入可获得正确答案，且通过重复试验确保成功概率。
• 将查询接口模拟集成到主算法中，证明其运行时间贡献为乘法因子，从而保持整体六次方缩放特性。
• 在平面测量和随机测量下的最大纠缠态与非最大纠缠态上进行数值测试，采用高精度的距离评估方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可访问贝尔不等式界查询接口的前提下，能否在多项式时间内计算非信号相关性到局部多面体的距离？
• RQ2 尽管Pitowski的结果表明该问题为NP完全，但所提出的算法在实际中是否仍能保持多项式时间缩放？
• RQ3 查询接口模拟的性能如何影响整体运行时间，是否可保持为乘法因子？
• RQ4 数值测试中观察到的六次方缩放规律是否与理论边界一致？
• RQ5 该算法能否在多种量子态和测量配置下成功实现高精度的距离计算？

主要发现

• 在可访问查询接口的前提下，该算法可实现任意固定精度的多项式时间距离计算。
• 理论运行时间上限与测量数的六次方成正比，且在所有数值测试中均超过线性边界。
• 查询接口模拟对整体运行时间的贡献为乘法因子，保持了在查询接口辅助情况下观察到的六次方缩放特性。
• 在所有测试情形——包括最大纠缠态、非最大纠缠态及随机测量——该算法均成功收敛至指定精度。
• 数值实验中运行时间的实际缩放与理论六次方定律一致，即使在多达28个测量的情况下亦成立。
• 对于测量数不超过28的情形，暴力验证确认该算法始终在指定精度内找到正确解。