[论文解读] Can quantum Monte Carlo simulate quantum annealing?

Evgeny Andriyash, M. H. S. Amin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Quantum and electron transport phenomena参考文献 1被引用 11

一句话总结

本文挑战了量子蒙特卡洛（QMC）能够准确模拟量子退火（QA）的观点，表明当由于阻挫而存在多个同伦不等价的隧穿路径时，QA中的非相干隧穿可超越QMC。通过使用超越WKB近似的微扰理论，作者证明在某些阻挫系统中，非相干隧穿相对于QMC具有指数级优势，从而否定了此前认为QMC与QA在这些情况下具有相似缩放特性的假设。

ABSTRACT

Recent theoretical and experimental studies have suggested that quantum Monte Carlo (QMC) simulation can behave similarly to quantum annealing (QA). The theoretical analysis was based on calculating transition rates between local minima, in the large spin limit using WentzelKramers-Brillouin (WKB) approximation, for highly symmetric systems of ferromagnetically coupled qubits. The rate of transition was observed to scale the same in QMC and incoherent quantum tunneling, implying that there might be no quantum advantage of QA compared to QMC other than a prefactor. Quantum annealing is believed to provide quantum advantage through large scale superposition and entanglement and not just incoherent tunneling. Even for incoherent tunneling, the scaling similarity with QMC observed above does not hold in general. Here, we compare incoherent tunneling and QMC escape using perturbation theory, which has much wider validity than WKB approximation. We show that the two do not scale the same way when there are multiple homotopy-inequivalent paths for tunneling. We demonstrate through examples that frustration can generate an exponential number of tunneling paths, which under certain conditions can lead to an exponential advantage for incoherent tunneling over classical QMC escape. We provide analytical and numerical evidence for such an advantage and show that it holds beyond perturbation theory.

研究动机与目标

• 调查量子蒙特卡洛（QMC）是否能真正模拟量子退火（QA），特别是在声称的跃迁速率相似性背景下。
• 质疑先前研究中用于支持QMC与QA跃迁速率缩放相似性的WKB近似方法的有效性。
• 确定当存在多个隧穿路径时，QA中的非相干隧穿是否能相对于QMC实现指数级优势。
• 确定QA可能超越经典QMC模拟的条件，即使仅考虑预因子差异。

提出的方法

• 作者在低能子空间中使用非微扰微扰理论分析隧穿速率，避免依赖大自旋WKB近似。
• 通过投影算符P和P̄推导低能子空间的有效哈密顿量，分离局域态之间的动力学。
• 通过在b₀（隧穿幅度）及其导数的级数展开中计算分区函数Z₀和Z_B，捕捉通过高能态的环路贡献。
• 通过求和所有通过激发态连接初态与末态的路径，显式考虑多个同伦不等价的隧穿路径。
• 通过计算有效哈密顿量的两个最低本征值，提取隧穿分裂g和能量位移E₀ + δE₀，以确定分区函数。
• 通过数值证据和自由能及分区函数的解析表达式，验证结果在微扰理论之外的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在多个隧穿路径的系统中，量子蒙特卡洛（QMC）能否准确模拟量子退火（QA）？
• RQ2 此前通过WKB近似观察到的QMC与非相干隧穿在跃迁速率上的缩放相似性，是否在大自旋极限之外依然成立？
• RQ3 自旋系统中的阻挫是否能产生指数数量的隧穿路径，从而导致QA相对于QMC的指数级优势？
• RQ4 当存在多个同伦不等价路径时，QMC与QA之间声称的跃迁速率等价性是否依然稳健？
• RQ5 在何种条件下，QA中的非相干隧穿会超越经典QMC模拟？

主要发现

• 当存在多个同伦不等价的隧穿路径时，QMC与非相干隧穿的跃迁速率缩放不匹配，从而否定了先前基于WKB近似的结论。
• 阻挫可产生指数数量的隧穿路径，导致在某些系统中非相干隧穿相对于QMC具有指数级优势。
• 本研究采用的微扰理论方法表明，一阶隧穿幅度g受高阶项修正，其中g = b₀ / (1 − a′)，a′为自能的导数。
• 局域分区函数Z₀和边界分区函数Z_B被表示为b₀及其导数的级数展开，捕捉了通过激发态的所有环路贡献。
• 数值和解析证据证实，非相干隧穿相对于QMC的指数级优势在微扰区之外依然存在。
• 本研究证明，一般情况下QMC无法模拟QA，特别是在隧穿路径多样性使量子优势超越预因子差异的阻挫系统中。