[论文解读] Can you take Toernquist's inaccessible away?

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用 14

一句话总结

该论文证明了存在一个 ZF+DC 模型且无 mad 家族，其与 ZFC 的等一致性不依赖于大基数假设，消除了此前 To"{e}rnquist 结果中所需的 Mahlo 卡尔迪纳尔假设。通过使用具有 ccc 性质的力迫构造与并合技术，作者表明在 ZFC 一致性下，可以在满足 ZF+DC+"无 mad 家族"的模型中实现 mad 家族的非存在性。

ABSTRACT

We prove that ZF+DC+"There are no mad families" is equiconsistent with ZFC.

研究动机与目标

• 消除 To"{e}rnquist 结果中关于 Levy 模型中无 mad 家族的结论所依赖的大基数假设（Mahlo 卡尔迪纳尔）。
• 建立 ZF+DC+"无 mad 家族"与 ZFC 的等一致性，表明 mad 家族非存在的一致性强度不超过 ZFC。
• 提供一个基于 ccc 偏序集与并合技术的力迫理论框架，用于构造 mad 家族不存在的模型。
• 为在 ZF+DC 模型中解决关于最大最终不同族与最大余有限群的开放问题奠定基础。
• 探究此类族是否可以为解析集，或在 Levy 模型等模型中存在，从而扩展描述集合论独立性结果的适用范围。

提出的方法

• 构造一个 ccc 力迫概念类 $K$，其可迫使 $MA_{\aleph_1}$，并配备基于完全嵌入的偏序 $\leq_K$。
• 利用 $K$ 的并合性质，构建 $\leq_K$-递增的连续力迫概念序列，确保对极限的封闭性。
• 通过 $\leq_K$-递增序列的递归构造力迫扩张，确保所有可数集均被单个大小 $\leq \sigma$ 的扩张所捕获。
• 采用类似融合的论证方法，确保泛函滤子保持 ccc 性质与 $MA_{\aleph_1}$，从而实现一个无 mad 家族的模型。
• 利用 $MA_{\aleph_1}$ 蕴含每个 ccc 力迫均为 Knaster 的事实，有助于在乘积与并合下保持 ccc 性质。
• 验证在最终模型中，不存在任何解析或可定义的 mad 家族，依赖于泛函性与基于 $MA_{\aleph_1}$ 的泛函扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 ZF+DC 模型且无 mad 家族，其与 ZFC 等一致，且无需假设 Mahlo 卡尔迪纳尔？
• RQ2 能否仅通过 ZFC 一致的假设，在 ZF+DC 模型中实现 mad 家族的非存在性？
• RQ3 是否存在 ZF+DC 模型，其中最大最终不同族或最大余有限群不存在？
• RQ4 在 ZFC 下，最大最终不同族或最大余有限群是否可以为解析集？
• RQ5 在 ZF+DC 模型中，mad 家族非存在的一致性强度为何？是否可降至 ZFC？

主要发现

• 理论 ZF+DC+"无 mad 家族"与 ZFC 等一致，消除了对 Mahlo 卡尔迪纳尔的需求。
• 该构造使用一个类 $K$ 的 ccc 力迫概念，其可迫使 $MA_{\aleph_1}$，且对并合与 $\leq_K$-递增序列封闭。
• 对任意大小小于 $\mu$ 的集合 $X$，存在一个力迫扩张 $\mathbb{Q} \in K$，使得 $X \subseteq \mathbb{Q}$ 且 $|\mathbb{Q}| < \mu$，确保对小集合的封闭性。
• 力迫构造确保在泛函扩张中不存在 mad 家族，这是由于 $MA_{\aleph_1}$ 与 ccc 性质的保持。
• 该方法允许构造一个模型，其中每个实数集均为勒贝格可测且具有贝尔性质，与 ZF+DC 一致。
• 结果表明，mad 家族的非存在性与 ZFC 一致，因此其一致性强度无需强于 ZFC。