[论文解读] Cancellation for inclusions of C*-algebras of finite depth

Ja A Jeong, Hiroyuki Osaka+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过证明：若一个具有拓扑稳定秩 1 和 Property (SP) 的单 C*-代数 $A$，其任意具有有限深度且具有指数-有限型条件期望的包含关系 $A \to B$，则 $B$ 具有可消去性。关键结果可推广至交叉积：对于具有 $ \mathrm{tsr}(A)=1$ 和 Property (SP) 的简单单 C*-代数 $A$ 上的有限群作用，其交叉积 $A \rtimes_\alpha G$ 具有可消去性；对于外 $ \mathbb{Z}$-作用且 $K_0$-作用平凡的情形，$A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$ 同样具有可消去性。

ABSTRACT

Let B be a unital C*-algebra, let A be a unital subalgebra, and let E be a conditional expectation from B to A with index-finite type and a quasi-basis of n elements. Then the topological stable rank satisfies sr (B) \leq sr (A) + n - 1. As an application, we show that if a unital inclusion A \subset B of C*-algebras has index-finite type and finite depth, and A is simple with stable rank one and Property (SP), then B has cancellation. In particular, if A is a simple unital C*-algebra with stable rank one and Property (SP), and a finite group G acts on A, then the crossed product has cancellation. Separately, if the group is the integers, we obtain cancellation under the additional hypotheses that the group action is outer and is trivial on K_0 (A).

研究动机与目标

• 建立在具有指数-有限型条件期望的包含关系下，有限深度 C*-代数包含的可消去性。
• 将可消去性结果推广至具有 $ \mathrm{tsr}(A)=1$ 和 Property (SP) 的简单单 C*-代数 $A$ 上的有限群作用的交叉积 $A \rtimes_\alpha G$。
• 在 $ \alpha$ 为外 $ \mathbb{Z}$-作用且 $K_0$-作用平凡（即使无 Rokhlin 性质）时，证明 $A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$ 具有可消去性。
• 表明在包含关系的特定结构条件下，拓扑稳定秩的上界可推出可消去性。

提出的方法

• 建立拓扑稳定秩的上界：对于具有指数-有限型条件期望和 $n$-元拟基的单 C*-代数包含 $A \subset B$，有 $\mathrm{tsr}(B) \leq \mathrm{tsr}(A) + n - 1$。
• 应用 Blackadar 的判别准则：若一个简单 C*-代数包含一组非零投影 $P$，其谱投影可任意小，且 $\mathrm{tsr}(pBp)$ 一致有界，则 $B$ 具有可消去性。
• 利用 $\mathrm{tsr}(B)$ 的上界，证明 $M_\infty(A)$ 中所有投影 $p$ 满足 $\sup_{p \in P} \mathrm{tsr}(pBp) < \infty$，从而满足 Blackadar 的条件。
• 对于 $ \mathbb{Z}$-交叉积，利用 $\alpha_*$ 在 $K_0(A)$ 上的平凡性，通过酉变换共轭自同态，将问题约化为具有受控结构的交叉积。
• 利用已知的 AH-代数与 UHF 代数在 $\mathrm{tsr}$ 与实秩方面的结果，验证 $A$ 上的条件。
• 利用交叉积的结构与 Rokhlin 型分解，将 $\mathrm{tsr}(pBp)$ 的上界控制在 2 以内，从而确保可消去性所需的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有指数-有限型条件期望的单 C*-代数包含 $A \subset B$ 下，$B$ 在何种条件下具有可消去性？
• RQ2 对于具有 $ \mathrm{tsr}(A) = 1$ 和 Property (SP) 的简单单 C*-代数 $A$，其有限群作用 $\alpha$ 的交叉积 $A \rtimes_\alpha G$ 是否具有可消去性？
• RQ3 当 $\alpha$ 为外 $ \mathbb{Z}$-作用且 $\alpha_*$ 在 $K_0(A)$ 上为恒等映射时，是否可建立 $A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$ 的可消去性，即使不满足 Rokhlin 性质？
• RQ4 当 $A$ 具有 $ \mathrm{tsr}(A) = 1$ 和 Property (SP) 时，可消去性是否在有限深度包含关系下保持不变？
• RQ5 是否可利用拓扑稳定秩上界 $\mathrm{tsr}(B) \leq \mathrm{tsr}(A) + n - 1$ 推导出有限深度包含关系下的可消去性？

主要发现

• 对于具有忠实条件期望、指数-有限型且具有 $n$-元拟基的单包含关系 $A \subset B$，有 $\mathrm{tsr}(B) \leq \mathrm{tsr}(A) + n - 1$。
• 若 $A$ 为简单单 C*-代数，$ \mathrm{tsr}(A) = 1$ 且具有 Property (SP)，则任意具有有限深度且具有指数-有限型条件期望的包含关系 $A \subset B$ 均蕴含 $B$ 具有可消去性。
• 对于任意有限群作用 $\alpha$ 作用于具有 $ \mathrm{tsr}(A) = 1$ 和 Property (SP) 的简单单 C*-代数 $A$，其交叉积 $A \rtimes_\alpha G$ 具有可消去性。
• 对于外 $ \mathbb{Z}$-作用 $\alpha$ 作用于 $A$ 且满足 $\alpha_* = \mathrm{id}$ 在 $K_0(A)$ 上的情形，其交叉积 $A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$ 具有可消去性。
• 若 $A$ 为具有实秩零与缓慢维数增长的简单单 AH-代数，则对任意有限群作用 $\alpha$，其交叉积 $A \rtimes_\alpha G$ 具有可消去性。
• 在 $A \rtimes_\alpha \mathbb{Z}$ 且 $\alpha_*$ 在 $K_0(A)$ 上平凡的情形下，对所有非零投影 $p \in M_\infty(A)$，有 $\mathrm{tsr}(pBp) \leq 2$，从而确保可消去性所需的统一有界性。