[论文解读] Cancellation properties in ideal systems: an $\boldsymbol{e.a.b.}$ not $\boldsymbol{a.b.}$ star operation

Marco Fontana, K. Alan Loper+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Rings, Modules, and Algebras参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文证明了，在整环上的星运算中，Gilmer 的 e.a.b.（有限算术可用）取消条件严格弱于 Krull 的 a.b.（算术可用）条件。通过修改先前一个例子的构造，作者构造出一个满足 e.a.b. 取消但不满足 a.b. 取消的星运算，从而证明这两个条件在一般情况下并不等价。

ABSTRACT

We show that Krull's exttt{a.b.} cancellation condition is a properly stronger condition than Gilmer's exttt{e.a.b.} cancellation condition for star operations.

研究动机与目标

• 澄清乘法理想理论中两个取消条件之间的逻辑关系：Krull 的 a.b. 与 Gilmer 的 e.a.b.
• 解决先前文献中关于 e.a.b. 可能对星运算蕴含 a.b. 的模糊性。
• 构造一个反例，证明 e.a.b. 不蕴含 a.b. 对于星运算。
• 证明在某些非诺特环中，$t$-运算及其相关星运算并不能完全捕捉 e.a.b. 条件。
• 澄清 $t$-运算与新构造的星运算之间的区别，后者满足 e.a.b. 但不满足 a.b.

提出的方法

• 构造一个非诺特的 UFD $D = k[X_1,X_2,...]_N$，其在极大理想 $N = (X_1,X_2,...)$ 处局部化。
• 定义一个由 $xF^t$、$yM$ 和 $zM^2$ 生成的分式理想集合 $\mathcal{J}$，其中 $x,y,z \in K \setminus \{0\}$ 且 $F \in \boldsymbol{f}(D)$。
• 利用 $\mathcal{J}$ 通过 $E^\ast = \bigcap \{ J \in \mathcal{J} \mid J \supseteq E \}$ 定义一个星运算 $\ast$。
• 证明对于某些 $F \in \boldsymbol{f}(D)$ 满足 $F^t = D$ 的情形（如 $I = (X_i,X_j)$），有 $F^\ast = F^t$ 不成立，具体表现为 $I^\ast = M$。
• 利用 $b$-Kronecker 函数环 $\mathrm{Kr}(D,b)$ 分析 $\ast$ 下的理想行为，借助其贝祖环结构。
• 通过反证法假设 $I \not\subseteq G^\ast$ 对某 $G \in \boldsymbol{f}(D)$ 成立，证明 $I \subseteq G^\ast$ 必须成立，从而证明 $\ast$ 满足 e.a.b. 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在整环上的星运算中，Gilmer 的 e.a.b. 取消条件是否严格弱于 Krull 的 a.b. 取消条件？
• RQ2 是否存在一个星运算满足 e.a.b. 但不满足 a.b.？
• RQ3 $t$-运算是否在非诺特环中完全捕捉了 e.a.b. 性质？
• RQ4 能否构造一个星运算，使得对某个 $F \in \boldsymbol{f}(D)$ 满足 $F^t = D$ 但 $F^\ast \neq F^t$？
• RQ5 是否存在一个环，使得对 $I = (X_i,X_j)$ 有 $I^\ast = M$ 但 $I^t = D$，从而表明 $\ast$ 不是 $t$-型运算？

主要发现

• 本文构造的星运算 $\ast$ 满足 e.a.b. 条件但不满足 a.b. 条件。
• 对 $I = (X_i,X_j)$（$i \neq j$），有 $I^\ast = M$，而 $I^t = D$，从而证明存在 $F \in \boldsymbol{f}(D)$ 使得 $F^\ast \neq F^t$。
• $\ast$ 满足 e.a.b. 条件，因为对任意 $F,G,H \in \boldsymbol{f}(D)$，若 $(FG)^\ast \subseteq (FH)^\ast$，则必有 $G^\ast \subseteq H^\ast$。
• $\ast$ 不满足 a.b. 条件，因为存在 $F,G,H \in \boldsymbol{F}(D)$ 使得 $(FG)^\ast \subseteq (FH)^\ast$ 但 $G^\ast \not\subseteq H^\ast$，该结论通过 Kronecker 函数环中的反证法得到证明。
• 矛盾源于假设 $M\mathrm{Kr}(D,b) \subseteq \mathcal{H}$，其中 $\mathcal{H}$ 是一个主理想，从而推出对所有 $n$ 有 $X_n \in \varphi\mathrm{Kr}(D,b)$，但若 $\varphi$ 仅涉及有限多个不定元，则这是不可能的。
• 该构造确认了 e.a.b. 条件严格弱于 a.b. 条件，从而解决了乘法理想理论中的一个基础性问题。