[论文解读] Candy Crush is NP-hard

Toby Walsh|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2014

Artificial Intelligence in Games参考文献 10被引用 17

一句话总结

本文通过将3-SAT问题约化到游戏机制，证明了流行的益智游戏《糖果粉碎》的广义版本是NP难的，表明在固定交换次数内达成目标分数在计算上是不可解的。该结果确立了《糖果粉碎》属于NP完全谜题类别，对谜题设计及将困难计算问题用于众包具有启示意义。

ABSTRACT

We prove that playing Candy Crush to achieve a given score in a fixed number of swaps is NP-hard.

研究动机与目标

• 正式确立《糖果粉碎》作为益智游戏的计算复杂性。
• 研究在固定交换次数内达成指定分数是否在计算上困难。
• 探讨NP难性对谜题设计及游戏中人类问题求解的影响。
• 检验《糖果粉碎》的结构是否支持对NP完全问题（如3-SAT）的编码。
• 评估《糖果粉碎》作为众包困难计算问题平台的潜力。

提出的方法

• 使用具有无界尺寸的广义棋盘，将3-SAT的一个实例约化为《糖果粉碎》问题。
• 通过紫色簇构建变量组件，利用垂直链的形成来模拟真值赋值。
• 设计导线组件，通过三个相同糖果的链来跨棋盘传播真值。
• 构建子句组件，当子句被满足时通过产生大量链来检测其满足性。
• 确保仅形成恰好三个糖果的链，避免使用特殊糖果（如条纹糖或包裹糖）。
• 使用交替颜色糖果构成中性背景，以防止意外形成链。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定交换次数内达成《糖果粉碎》中的目标分数是否在计算上困难？
• RQ2 能否通过多项式时间约化，将3-SAT问题编码到《糖果粉碎》的机制中？
• RQ3 《糖果粉碎》的结构是否允许类似其他NP难问题的难题相变？
• RQ4 该游戏能否用于众包求解实际的NP难问题？
• RQ5 确定《糖果粉碎》谜题唯一解的问题是否为co-NP难？

主要发现

• 《糖果粉碎》问题是NP完全的，因为有效的交换序列可作为多项式时间可验证的证明。
• 从3-SAT到《糖果粉碎》的约化在规模上是多项式时间的，棋盘宽度为O(n + m²)，高度为O(m³(n + m²))。
• 当3-SAT实例的所有子句均被满足时，可获得最高分，该分数超过通过直接操作导线所能达到的任何分数。
• 仅当变量组件以满足所有子句的方式设置时，才能达到最高分，这将解的唯一性与唯一SAT问题联系起来。
• 唯一《糖果粉碎》问题为co-NP难，因为其可约化为唯一SAT问题的补集。
• 即使棋盘部分区域不可见，NP难性结果依然成立，只要隐藏部分不贡献于得分。