[论文解读] Canonical analysis of cosmological topologically massive gravity at the chiral point

Daniel Grumiller, R. Jackiw+1 more|ArXiv.org|Jun 25, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用 46

一句话总结

该论文采用一阶规范形式与Cartan变量，对共形点处的宇宙学拓扑麦克斯韦引力进行了非微扰正则分析，通过详尽的约束分析确立了该理论在时空每一点处具有一个物理体自由度——即拓扑麦克斯韦引力子，其二维物理相空间结构得到确认。

ABSTRACT

Wolfgang Kummer was a pioneer of two-dimensional gravity and a strong advocate of the first order formulation in terms of Cartan variables. In the present work we apply Wolfgang Kummer's philosophy, the `Vienna School approach', to a specific three-dimensional model of gravity, cosmological topologically massive gravity at the chiral point. Exploiting a new Chern-Simons representation we perform a canonical analysis. The dimension of the physical phase space is two per point, and thus the theory exhibits a local physical degree of freedom, the topologically massive graviton.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于共形宇宙学拓扑麦克斯韦引力（CCTMG）是否在微扰近似之外具有体自由度的争议。
• 应用Wolfgang Kummer的“维也纳学派”方法——使用一阶Cartan变量（vierbein与连接形式）及规范场论方法——分析CCTMG。
• 在共形点（μℓ = 1）对CCTMG进行非微扰正则分析，重点研究约束结构与相空间维数。
• 澄清先前文献中关于CCTMG物理自由度数量的分歧，特别是零个与一个自由度结果之间的矛盾。
• 确认一阶形式与二阶作用量的一致性，并识别出不对应于常规场配置的物理分支。

提出的方法

• 使用独立vierbein $e^a$ 与连接形式 $\omega^a$ 的一阶作用量，辅以拉格朗日乘子 $\lambda^a$ 以强制实现扭率约束 $T_a = de_a + \varepsilon_{abc}\omega^b \wedge e^c = 0$。
• 引入作用量的新陈-西蒙斯表示形式，将理论表达为两个爱因斯坦-希尔伯特项与一个引力陈-西蒙斯项的组合，从而实现规范场论处理。
• 通过将时空分解为空间与时间，进行哈密顿分析，识别出初级、次级与三级约束。
• 利用约束之间24×24的泊松括号矩阵计算约束矩阵的秩，表明仅有四个约束为独立且第一类。
• 应用狄拉克-伯格曼算法，将约束分类为第一类（规范）或第二类（降低相空间维数），并验证约束代数在 $\delta$-函数作用下的闭合性。
• 利用条件 $e^a \wedge \lambda_a = 0$（由扭率与里奇1-形式在物理壳上为零导出），将约束矩阵秩从六降低至四，确认每点处物理相空间维数为二。

实验结果

研究问题

• RQ1 宇宙学拓扑麦克斯韦引力在共形点是否具有超越线性化区域的物理体自由度？
• RQ2 在使用独立vierbein与连接形式的一阶形式下，CCTMG的正则结构有何不同？
• RQ3 CCTMG中物理相空间的精确维数是多少，其与物理自由度数量的关系如何？
• RQ4 为何先前分析得出相互矛盾的结果（零个与一个自由度），能否通过一致的约束分析解决此矛盾？
• RQ5 在一阶形式中是否存在不对应于常规二阶场配置的物理分支，其意义为何？

主要发现

• 宇宙学拓扑麦克斯韦引力在共形点处的物理相空间每时空点维数为二，确认存在一个物理体自由度。
• 约束分析表明，仅有四个约束为独立且第一类，其余约束为第二类，相空间维数从24降低至2。
• 由于物理壳条件 $e^a \wedge \lambda_a = 0$ 的作用，约束矩阵秩从六降至四，该条件由扭率与里奇1-形式在物理壳上为零所导出。
• 次级约束的泊松括号代数以 $\delta$-函数闭合，而非导数形式，这一特征为规范场论形式所特有，如Wolfgang Kummer所开创。
• 该结果与线性化区域中拓扑麦克斯韦引力子为物理自由度的结论一致，解决了文献中先前的矛盾。
• 将扭率约束作为相空间上的约束（而非动力学条件）处理，可一致地将相空间维数约化至二维，从而确认存在一个物理自由度。