[论文解读] Canonical connection and contact Cauchy-Riemann maps on contact manifolds I

Yong‐Geun Oh, Rui Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Geometry and complex manifolds被引用 1

一句话总结

该论文通过接触三重联络，对接触流形上的非线性椭圆系统 $\bar\partial^\pi w = 0$ 和 $d(w^*\lambda \circ j) = 0$ 进行了直接分析，建立了 $k \geq 2$ 时的 $C^k$ 控制估计。对于梯度有界且 $\pi$-调和能量有限的解，证明了其沿旋转的Reeb轨道渐近收敛于螺旋型瞬子，当电荷 $Q = 0$ 且接触形式非退化时，收敛速度为指数型。

ABSTRACT

In the present article, we develop the analysis of the following nonlinear elliptic system of equations $$ \bar\partial^\pi w = 0, \, d(w^*\lambda \circ j) = 0 $$ first introduced by Hofer, associated to each given contact triad $(M,\lambda,J)$ on a contact manifold $(M,\xi)$. We directly work with this elliptic system on the contact manifold without involving the symplectization process. We establish the local a priori $C^k$ coercive pointwise estimates for all $k \geq 2$ in terms of $\|dw\|_{C^0}$ by doing tensorial calculations on contact manifold itself using the contact triad connection introduced by present the authors. Equipping the punctured Riemann surface $(\dot \Sigma,j)$ with a cylindrical Kahler metric and isothermal coordinates near every puncture, we prove the asymptotic (subsequence) convergence to the `spiraling' instantons along the `rotating' Reeb orbit for any solution $w$, not necessarily for $w^*\lambda \circ j$ being exact (i.e., allowing non-zero `charge' $Q eq 0$), with bounded gradient $\|d w\|_{C^0} < C$ and finite $\pi$-harmonic energy. For nondegenerate contact forms, we employ the `three-interval method' to prove the exponential convergence to a closed Reeb orbit when $Q = 0$. (The Morse-Bott case using this method is treated in a sequel (arXiv:1311.6196).)

研究动机与目标

• 为接触流形上的非线性椭圆系统 $\\bar\\partial^\\pi w = 0$ 和 $d(w^*\\lambda \circ j) = 0$ 建立一种不依赖于辛化过程的直接分析框架。
• 通过接触三重联络在接触流形上进行张量计算，建立 $k \geq 2$ 时的局部 $C^k$ 控制点态估计。
• 证明解在 $Q \neq 0$ 的情况下，仍能渐近（子列）收敛于沿“旋转”Reeb轨道的“螺旋型”瞬子。
• 将分析推广至非退化接触形式的情形，当 $Q = 0$ 时，利用“三区间法”证明指数型收敛。

提出的方法

• 直接在接触流形上利用接触三重联络进行分析，避免了辛化过程。
• 将系统 $\bar\partial^\pi w = 0$ 和 $d(w^*\lambda \circ j) = 0$ 视为在带有柱状凯勒度量的穿孔黎曼面 $ (\dot\Sigma, j) $ 上的非线性椭圆系统进行研究。
• 在每个穿孔附近使用各向同性坐标，分析解在无穷远处的行为。
• 利用接触三重联络，通过张量计算推导出 $k \geq 2$ 时以 $\|dw\|_{C^0}$ 表示的 $C^k$ 控制估计。
• 应用“三区间法”证明当 $Q = 0$ 且接触形式非退化时，解指数收敛于闭合Reeb轨道。
• 分析允许 $w^*\lambda \circ j$ 不精确，从而容纳非零电荷 $Q \neq 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不进行辛化的情况下，直接在接触流形上分析非线性椭圆系统 $\bar\partial^\pi w = 0$ 和 $d(w^*\lambda \circ j) = 0$？
• RQ2 该系统解的局部 $C^k$ 控制估计是什么？其与 $\|dw\|_{C^0}$ 的依赖关系如何？
• RQ3 对于梯度有界且 $\pi$-调和能量有限的解，其渐近行为如何，特别是当 $Q \neq 0$ 时？
• RQ4 在何种条件下会发生指数收敛至闭合Reeb轨道，尤其是当 $Q = 0$ 时？
• RQ5 “三区间法”如何促进在非退化情形下指数收敛的证明？

主要发现

• 通过接触三重联络在接触流形上进行张量计算，建立了以 $\|dw\|_{C^0}$ 表示的 $k \geq 2$ 时的局部 $C^k$ 控制点态估计。
• 对于梯度有界 $\|dw\|_{C^0} < C$ 且 $\pi$-调和能量有限的解，即使在 $Q \neq 0$ 的情况下，也表现出渐近（子列）收敛于沿“旋转”Reeb轨道的“螺旋型”瞬子。
• 当接触形式非退化且 $Q = 0$ 时，利用“三区间法”证明了解指数收敛于闭合Reeb轨道。
• 分析直接在接触流形上通过接触三重联络完成，无需进行辛化。
• 该框架允许 $w^*\lambda \circ j$ 不精确，从而容纳非零电荷 $Q \neq 0$，推广了以往的结果。
• 在穿孔附近使用共形坐标使对穿孔黎曼面上解的渐近行为实现了精确控制。