[论文解读] Canonical diffusions on the pattern spaces of aperiodic Delone sets

Patricia Alonso Ruiz, Michael Hinz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2018

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 67被引用 5

一句话总结

本文研究了具有有限局部复杂性的非周期性、重复性Delone集的图案空间上的规范扩散过程。通过一种新颖的Sobolev空间与Dirichlet型式构造，建立了具有自伴Laplacian的Feller扩散过程的存在性，证明了单位酉Schrödinger半群的存在，并推导出调和函数的Liouville定理与Helmholtz-Hodge定理。

ABSTRACT

We consider pattern spaces of aperiodic and repetitive Delone sets of finite local complexity. These spaces are compact metric spaces and constitute a special class of foliated spaces. We define new Sobolev spaces with respect to the unique invariant measure and prove the existence of the unitary Schrödinger semigroup, which in physics terms describe the evolution of phasons. We define and study natural leafwise diffusion processes on these pattern spaces. These processes have Feller, but lack strong Feller and hypercontractivity properties, and heat kernels do not exist. The associated Dirichlet forms are regular, strongly local, irreducible and recurrent, but not strictly local. For harmonic functions we prove new Liouville and Helmholtz-Hodge type theorems.

研究动机与目标

• 在具有有限局部复杂性的非周期性Delone集的图案空间上，定义并严格构造自然的扩散过程。
• 证明唯一不变测度的存在性，并为这些叶状空间定义相关的Sobolev空间。
• 证明自伴Laplacian与单位酉Schrödinger半群的存在性，该结果与准晶体中的phason动力学密切相关。
• 分析相关Dirichlet型式的概率与谱性质，包括不可约性与常返性。
• 推导调和函数在这些图案空间上的Liouville型与Helmholtz-Hodge型定理。

提出的方法

• 将图案空间定义为与非周期性、重复性、有限局部复杂性的Delone集相关联的紧致度量空间。
• 基于唯一的$\mathbb{R}^d$-不变概率测度$\mu$，构造规范Sobolev空间$\mathcal{W}^{k,2}(\Omega,\mu)$。
• 在连续函数上引入Feller半群$(T_t)_{t \geq 0}$，并识别其生成元$\mathcal{L}_{C(\Omega)}$。
• 将Feller半群扩展为$L^2(\Omega,\mu)$上的强连续半群$(P_t)_{t>0}$，其生成元$\mathcal{L}$为自伴算子。
• 在$\mathcal{D}(\mathcal{E})$上定义Dirichlet型式$\mathcal{E}$，证明其为正则、强局部、不可约且常返。
• 利用Hodge星算子与纤维化对偶性，推导一维图案的Helmholtz-Hodge分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有有限局部复杂性的非周期性Delone集的图案空间上严格定义自然的扩散过程？
• RQ2 此类图案空间上相关Laplacian与Dirichlet型式的谱性质与概率性质为何？
• RQ3 这些图案空间上的调和函数是否满足Liouville型定理？其结构如何？
• RQ4 缺乏强Feller性与超收缩性对热核与转移密度有何影响？
• RQ5 动力谱在刻画扩散过程的遍历性与谱性质方面起何作用？

主要发现

• 图案空间上的规范扩散过程为Feller过程，但非强Feller过程，且由于缺乏光滑转移密度，热核不存在。
• Dirichlet型式$\mathcal{E}$为正则、强局部、不可约且常返，但非严格局部，反映了叶状空间的奇异结构。
• 自伴Laplacian$\mathcal{L}$生成单位酉Schrödinger半群$e^{i\mathcal{L}}$，为准晶体中phason动力学提供了数学基础。
• Liouville定理成立：有界调和函数为常数，有限能量调和函数$\mu$-几乎处处为常数。
• 在一维图案中，通过Hodge星算子$\star_\omega$可实现Helmholtz-Hodge分解，将$L^2$-函数分解为恰当与共恰当分量。
• Koopman算子$\{U_{\vec{t}}\}$的动力谱为纯点谱，且$\mathbb{R}^d$-作用的遍历性由条件$\langle \vec{\tau}, \vec{\alpha} \rangle \notin \mathbb{Z}$对所有本征值$\vec{\alpha}$成立来刻画。