[论文解读] Canonical embedded and non-embedded resolution of singularities for excellent two-dimensional schemes

Vincent Cossart, Uwe Jannsen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用 65

一句话总结

本文為優秀的二維概形建立了典範的、函子性的嵌入與非嵌入奇點解析，使用位於奇點集中的允許中心的爆破。主要貢獻在於提出一個完全函子性、典範的解析過程，與自同構和局部化相容，並可推廣至非還原概形與具有橫截相交的邊界除子。

ABSTRACT

We prove the existence of resolution of singularities for arbitrary (not necessarily reduced or irreducible) excellent two-dimensional schemes, via permissible blow-ups. The resolution is canonical, and functorial with respect to automorphisms or etale or Zariski localizations. We treat the embedded case as well as the non-embedded case, with or without a boundary, and we relate the diferent versions. In the non-embedded case, a boundary is a collection of locally principal closed subschemes. Our main tools are the stratifications by Hilbert-Samuel functions and the characteristic polyhedra introduced by H. Hironaka. In an appendix we show that the standard method used in characteristic zero - the theory of maximal contact - does not work for surfaces in positive characteristic (the counterexamples are hypersurfaces in affine threespace and work over any field of positive characteristic). In this new version, we treat the case of locally noetherian but not necessarily noetherian schemes in an appropriate way. Here one does not have a finite resolution sequence, but still a canonical resolution morphism by glueing. The same techniques allow to treat algebraic spaces and stacks.

研究动机与目标

• 建立低於或等於二維的可約優良諾特概形的典範、函子性奇點解析。
• 將解析推廣至嵌入與帶邊界的情境，確保與自同構和局部化的相容性。
• 將解析推廣至非還原概形與僅局部諾特的概形（不一定是諾特的）。
• 利用可表示概形與函子性，為維數 ≤2 的代數堆疊提供解析架構。
• 確保解析過程保留幾何性質，如與除子的橫截相交及嚴格變換性質。

提出的方法

• 構造一組有限個爆破序列，沿允許中心 $ D_i \to (X_i)_{\text{sing}} $，其中 $ D_i $ 為正則，且 $ X_i $ 沿 $ D_i $ 為正常平坦。
• 利用爆破的普遍性質，確保函子性與與態射（包括局部化與自同構）的相容性。
• 定義嵌入情況下除子的嚴格變換與完全變換，確保每次爆破後 $ B' $ 仍為簡單橫截除子。
• 引入 $ B_i $-允許中心，以在整個解析過程中維持與邊界除子 $ B $ 的橫截條件。
• 透過用諾特開集覆蓋並利用唯一性黏合局部解析，將結果推廣至局部諾特概形。
• 透過群胚表示與基變換，利用概形覆蓋上解析的函子性，將結果推廣至代數堆疊。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為優良的二維概形構造一個與自同構和局部化相容的典範、函子性奇點解析？
• RQ2 如何在存在邊界除子 $ B $ 的情況下實現嵌入解析，使得 $ X $ 的嚴格變換與 $ B $ 橫截相交？
• RQ3 當 $ X $ 為非還原時，解析過程需要哪些修改？如何保持正常平坦性？
• RQ4 能否將解析推廣至僅局部諾特的概形（不一定是諾特的）？
• RQ5 典範解析過程能否透過可表示概形與群胚表示，推廣至維數 ≤2 的代數堆疊？

主要发现

• 沿奇點集中允許中心的典範、有限個爆破序列，可將任何可約優良二維概形解析為正則概形。
• 解析具有函子性：與自同構和局部化可交換，且在開子集上的拉回即為該子集的解析。
• 在嵌入情況下，$ X' $ 與 $ Z' $ 均變為正則，且態射 $ \rho_X $ 與 $ \rho_Z $ 為射影、滿射，且在 $ X_{\text{sing}} $ 外為同構。
• 當存在邊界除子 $ B $ 時，完全變換 $ B' $ 仍為簡單橫截除子，且 $ X' $ 與 $ B' $ 橫截相交。
• 對於非還原概形，$ (X')_{\text{red}} $ 為正則且正常平坦，且 $ X' $ 沿其還原子概形亦為正常平坦。
• 解析可推廣至維數 ≤2 的代數堆疊：若 $ X \to \frak{X} $ 為可表示、平坦、幾何正則覆蓋，且 $ X $ 為優良概形且維數 ≤2，則 $ \frak{X}' \to \frak{X} $ 為正則、滿射、正則解析。