[论文解读] Canonical formulation for nonrelativistic Euler fluids and Schwinger type conditions

Rabin Banerjee, Arpan Krishna Mitra|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种非相对论性非等熵欧拉流体的新型规范拉格朗日形式，利用诺特定理的能量-动量张量推导出流体速度的广义克莱勃什参数化。该方法直接从辛结构导出非典范哈密顿代数，并揭示了应力张量分量之间新的施温格型关系，这些关系确保了守恒性，并将相对论场论结构推广至非相对论流体力学。

ABSTRACT

We present a new approach, based on Noether's energy-momentum tensor, to construct the lagrangian for nonrelativistic nonisentropic Euler fluids. An advantage of this approach is that it naturally provides a generalised Clebsh decomposition for the fluid velocity. This is used to develop a hamiltonian formulation inolving a noncanonical algebra. This algebra is very simply obtained from the symplectic structure. It is used to show that the components of the Noether's energy-momentum tensor satisfy certain Schwinger-type relations. These relations, which are reminiscent of corresponding relations in relativistic field theory, are new.

研究动机与目标

• 为非相对论性非等熵流体建立一种基于欧拉变量的系统化拉格朗日形式，避免先前方法中的人为假设。
• 解决由于流体动力学中非典范括号和卡西米尔不变量导致的从哈密顿形式到拉格朗日形式转换的障碍。
• 推导包含熵的非等熵流体的广义克莱勃什分解，提供速度的物理上合理的参数化。
• 直接从辛结构建立非典范哈密顿代数，确保与流体动力学方程的一致性。
• 揭示并证明非相对论流体理论中应力张量分量之间存在施温格型代数关系，此前在该背景下尚不为人知。

提出的方法

• 利用诺特对能量-动量张量的定义构造拉格朗日密度，确保与已知哈密顿量和电流密度的一致性。
• 引入与流体密度 ρ 共轭的变量 θ，得到形式为 𝒟 = ρ∂₀θ − (½ρv² + V(ρ)) 的拉格朗日量，其中速度 v 通过 θ 表示。
• 推导涉及熵 S 的速度广义克莱勃什参数化，得到两种不同形式（45, 46），其中一种为新发现。
• 从拉格朗日量构造辛结构，直接导出 ρ、vᵢ 及其共轭变量之间的非典范泊松括号。
• 利用所导出的代数结构，证明应力张量的分量满足类似于相对论量子场论中的施温格型关系。
• 通过验证：施温格型关系的积分形式与标准应力-能量守恒律的时间分量一致，从而验证一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖人为守恒律或正则变换的前提下，为非相对论性非等熵流体构建一致的拉格朗日形式？
• RQ2 在非等熵流体中，克莱勃什参数化的自然推广形式是什么，它如何影响哈密顿结构？
• RQ3 非典范泊松括号能否系统地从欧拉拉格朗日量的辛结构导出，而非通过观察或变换？
• RQ4 此前仅在相对论场论中已知的施温格型代数关系是否也出现在非相对论流体动力学中，其物理意义为何？
• RQ5 所提出的形式如何在存在卡西米尔不变量和非可逆辛结构的情况下，确保哈密顿形式与拉格朗日形式之间的一致性？

主要发现

• 本文推导出涉及熵的非等熵流体广义克莱勃什参数化，其中一种形式为文献中尚未报道的新结果。
• 拉格朗日量的辛结构直接导出流体变量之间的非典范泊松括号，提供了独立于正则变换的系统化推导。
• 应力张量的分量满足新的施温格型关系，这些关系为代数恒等式，类似于相对论量子场论中的关系，但首次在非相对论流体力学中确立。
• 这些施温格型关系意味着应力张量的守恒性，其积分形式与标准应力-能量守恒律的时间分量一致。
• 该方法通过避免在卡西米尔阻碍可逆性时使用勒让德变换，解决了非典范流体系统中拉格朗日形式化长期存在的问题。
• 该形式在克莱勃什势的类似规范变换下保持不变，同时保持速度场和哈密顿代数的物理一致性。