[论文解读] Canonical height functions defined on the affine plane associated with regular polynomial automorphisms

Shu Kawaguchi|arXiv (Cornell University)|May 1, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

该论文为数域 $K$ 上动力度数 $\delta \geq 2$ 的正则多项式自同构构造了仿射平面 $\mathbb{A}^2$ 上的典范高度函数。这些高度函数满足Northcott有界性性质，且仅在 $f$-周期点处为零；作为应用，论文给出了无限 $f$-轨道中高度有界的点数的上界。

ABSTRACT

Let $f: \mathbb{A}^2 o \mathbb{A}^2$ be a polynomial automorphism of dynamical degree $\delta \geq 2$ over a number field $K$. (This is equivalent to say that $f$ is a polynomial automorphism that is not triangularizable.) Then we construct canonical height functions defined on $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ associated with $f$. These functions satisfy the Northcott finiteness property, and an $\bar{K}$-valued point on $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ is $f$-periodic if and only if its height is zero. As an application of canonical height functions, we give an estimate on the number of points with bounded height in an infinite $f$-orbit.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ 上为动力度数 $\delta \geq 2$ 的多项式自同构定义典范高度函数。
• 证明这些高度函数满足Northcott有界性性质。
• 将 $f$-周期点精确刻画为高度为零的点。
• 将高度函数应用于估计无限 $f$-轨道中高度有界的点数。

提出的方法

• 通过数域 $K$ 上 $\mathbb{A}^2$ 上正则多项式自同构的动力学定义典范高度函数。
• 利用动力度数 $\delta \geq 2$ 确保不可三角化性与非平凡动力学。
• 构造在 $f$ 作用下不变且满足Northcott型有界性条件的高度函数。
• 证明高度为零当且仅当该点为 $f$-周期点。
• 将高度函数应用于有界高度点数在无限 $f$-轨道中的上界估计。
• 利用典范高度的性质推导算术动力系统中的定量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为 $\mathbb{A}^2$ 上动力度数 $\delta \geq 2$ 的正则多项式自同构定义典范高度函数？
• RQ2 这些高度函数在动力学上满足哪些性质，特别是关于有界性与周期性的性质？
• RQ3 典范高度能否用于估计无限 $f$-轨道中高度有界的点数？
• RQ4 如何精确刻画 $f$-周期点在高度上的特征？
• RQ5 典范高度函数在 $f$ 迭代下如何表现？

主要发现

• 为动力度数 $\delta \geq 2$ 的多项式自同构在 $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ 上构造了典范高度函数，确保在 $f$ 作用下不变。
• 高度函数满足Northcott有界性性质，即仅有有限多个高度有界的点。
• $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ 中的点为 $f$-周期点当且仅当其典范高度为零。
• 该构造提供了一种工具，用于估计无限 $f$-轨道中高度有界的点数。
• 结果特指非可三角化的多项式自同构，排除了更简单的情形。
• 典范高度函数定义良好，并在 $f$ 的动力学下行为一致。